Номер 163, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 163, страница 43.

163. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных:

a) $\left(\frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b}\right)·\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}=$

$$\begin{gathered} =\left(\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{2(a+b)}\right)·\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}= \\ =\frac{4ab+{(a-b)}^2}{2(a+b)(a-b)}·\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}= \\ =\frac{(4ab+a^2-2ab+b^2)·a}{{(a+b)}^2(a-b)}+\frac{b}{b-a}= \\ =\frac{(a^2+2ab+b^2)a}{{(a+b)}^2(a-b)}+\frac{b}{b-a}= \\ =\frac{{(a+b)}^2·a}{{(a+b)}^2(a-b)}+\frac{b}{b-a}= \\ =\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b}=\frac{a-b}{a-b}=1 \end{gathered}$$

б) $\frac{y}{x-y}-\frac{x^3-x{y}^2}{x^2+y^2}·\left(\frac{x}{{(x-y)}^2}-\frac{y}{x^2-y^2}\right)=$

$$\begin{gathered} =\frac{y}{x-y}-\frac{x(x^2-y^2)}{x^2+y^2}·\left(\frac{x}{{(x-y)}^2}-\frac{y}{(x-y)(x+y)}\right)= \\ =\frac{y}{x-y}-\frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}·\frac{x(x+y)-y(x-y)}{{(x-y)}^2(x+y)}= \\ =\frac{y}{x-y}-\frac{x(x^2+xy-xy+y^2)}{(x^2+y^2)(x-y)}= \\ =\frac{y}{x-y}-\frac{x(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)(x-y)}= \\ =\frac{y-x}{x-y}=\frac{-(x-y)}{x-y}=-1 \end{gathered}$$

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных, необходимо его упростить. Исходное выражение: $ (\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b}) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели дробей не равны нулю: $ a^2 - b^2 \neq 0 \implies (a-b)(a+b) \neq 0 \implies a \neq b $ и $ a \neq -b $. $ 2a + 2b \neq 0 \implies 2(a+b) \neq 0 \implies a \neq -b $. $ a + b \neq 0 \implies a \neq -b $. $ b - a \neq 0 \implies b \neq a $. Следовательно, ОДЗ: $ a \neq \pm b $.

Выполним действия по порядку.

1. Упростим выражение в первых скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. $ \frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b} = \frac{2ab}{(a - b)(a + b)} + \frac{a - b}{2(a + b)} $ Общий знаменатель: $ 2(a - b)(a + b) $. $ \frac{2ab \cdot 2}{2(a - b)(a + b)} + \frac{(a - b)(a - b)}{2(a - b)(a + b)} = \frac{4ab + (a - b)^2}{2(a - b)(a + b)} $ Раскроем квадрат разности в числителе: $ \frac{4ab + a^2 - 2ab + b^2}{2(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2(a - b)(a + b)} $ Числитель является полным квадратом суммы: $ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $. $ \frac{(a + b)^2}{2(a - b)(a + b)} $ Сократим дробь на $ (a+b) $, так как из ОДЗ $ a+b \neq 0 $: $ \frac{a + b}{2(a - b)} $

2. Выполним умножение: $ (\frac{a + b}{2(a - b)}) \cdot \frac{2a}{a + b} $ Сократим на $ 2 $ и на $ (a+b) $: $ \frac{a}{a - b} $

3. Выполним сложение: $ \frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - a} $ Заметим, что $ b - a = -(a - b) $. $ \frac{a}{a - b} + \frac{b}{-(a - b)} = \frac{a}{a - b} - \frac{b}{a - b} = \frac{a - b}{a - b} $ Так как из ОДЗ $ a - b \neq 0 $, то $ \frac{a - b}{a - b} = 1 $.

Значение выражения равно 1 при всех допустимых значениях переменных, следовательно, оно не зависит от $a$ и $b$.

Ответ: 1.

б) Исходное выражение: $ (\frac{y}{x - y} - \frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2}) \cdot (\frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{x^2 - y^2}) $.

ОДЗ: $ x - y \neq 0 \implies x \neq y $; $ x^2 - y^2 \neq 0 \implies x \neq \pm y $. Также $ x^2+y^2 \neq 0 $, что выполняется для всех действительных $x, y$, кроме $x=y=0$, но этот случай уже исключен условием $x \neq y$. Следовательно, ОДЗ: $ x \neq y $ и $ x \neq -y $.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных, оно должно быть постоянным для любых допустимых значений $x$ и $y$. Проверим это, подставив в выражение две разные пары допустимых значений.

1. Пусть $ x = 2, y = 1 $. Эти значения входят в ОДЗ. $ (\frac{1}{2 - 1} - \frac{2^3 - 2 \cdot 1^2}{2^2 + 1^2}) \cdot (\frac{2}{(2 - 1)^2} - \frac{1}{2^2 - 1^2}) $ $ = (1 - \frac{8 - 2}{4 + 1}) \cdot (\frac{2}{1^2} - \frac{1}{4 - 1}) $ $ = (1 - \frac{6}{5}) \cdot (2 - \frac{1}{3}) $ $ = (\frac{5 - 6}{5}) \cdot (\frac{6 - 1}{3}) $ $ = (-\frac{1}{5}) \cdot (\frac{5}{3}) = -\frac{1}{3} $

2. Пусть $ x = 3, y = 1 $. Эти значения также входят в ОДЗ. $ (\frac{1}{3 - 1} - \frac{3^3 - 3 \cdot 1^2}{3^2 + 1^2}) \cdot (\frac{3}{(3 - 1)^2} - \frac{1}{3^2 - 1^2}) $ $ = (\frac{1}{2} - \frac{27 - 3}{9 + 1}) \cdot (\frac{3}{2^2} - \frac{1}{9 - 1}) $ $ = (\frac{1}{2} - \frac{24}{10}) \cdot (\frac{3}{4} - \frac{1}{8}) $ $ = (\frac{5}{10} - \frac{24}{10}) \cdot (\frac{6}{8} - \frac{1}{8}) $ $ = (-\frac{19}{10}) \cdot (\frac{5}{8}) = -\frac{19 \cdot 5}{10 \cdot 8} = -\frac{19}{16} $

Поскольку $ -\frac{1}{3} \neq -\frac{19}{16} $, значение выражения зависит от значений переменных $x$ и $y$. Это означает, что в условии задачи, скорее всего, допущена опечатка. Для выражения, представленного в задании, доказать его независимость от переменных невозможно.

Ответ: Утверждение в задаче неверно для данного выражения, так как его значение зависит от переменных.