Номер 163, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

163. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных:

a) $\left(\frac{2ab}{a^2-b^2}+\frac{a-b}{2a+2b}\right)·\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}=$

$$\begin{gathered} =\left(\frac{2ab}{(a-b)(a+b)}+\frac{a-b}{2(a+b)}\right)·\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}= \\ =\frac{4ab+{(a-b)}^2}{2(a+b)(a-b)}·\frac{2a}{a+b}+\frac{b}{b-a}= \\ =\frac{(4ab+a^2-2ab+b^2)·a}{{(a+b)}^2(a-b)}+\frac{b}{b-a}= \\ =\frac{(a^2+2ab+b^2)a}{{(a+b)}^2(a-b)}+\frac{b}{b-a}= \\ =\frac{{(a+b)}^2·a}{{(a+b)}^2(a-b)}+\frac{b}{b-a}= \\ =\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b}=\frac{a-b}{a-b}=1 \end{gathered}$$

б) $\frac{y}{x-y}-\frac{x^3-x{y}^2}{x^2+y^2}·\left(\frac{x}{{(x-y)}^2}-\frac{y}{x^2-y^2}\right)=$

$$\begin{gathered} =\frac{y}{x-y}-\frac{x(x^2-y^2)}{x^2+y^2}·\left(\frac{x}{{(x-y)}^2}-\frac{y}{(x-y)(x+y)}\right)= \\ =\frac{y}{x-y}-\frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}·\frac{x(x+y)-y(x-y)}{{(x-y)}^2(x+y)}= \\ =\frac{y}{x-y}-\frac{x(x^2+xy-xy+y^2)}{(x^2+y^2)(x-y)}= \\ =\frac{y}{x-y}-\frac{x(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)(x-y)}= \\ =\frac{y-x}{x-y}=\frac{-(x-y)}{x-y}=-1 \end{gathered}$$

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от входящих в него переменных, нужно упростить данное выражение. Если после тождественных преобразований получится число, не содержащее переменных, то утверждение доказано.

а) Упростим выражение:
$\left(\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b}\right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a}$

1. Разложим знаменатели на множители в первой скобке:
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
$2a + 2b = 2(a + b)$

Тогда выражение в скобках примет вид:
$\frac{2ab}{(a - b)(a + b)} + \frac{a - b}{2(a + b)}$

2. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $2(a - b)(a + b)$:
Дополнительный множитель для первой дроби равен $2$, а для второй — $(a - b)$.
$\frac{2ab \cdot 2 + (a - b)(a - b)}{2(a - b)(a + b)} = \frac{4ab + (a - b)^2}{2(a - b)(a + b)}$

Раскроем квадрат разности в числителе:
$\frac{4ab + a^2 - 2ab + b^2}{2(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2(a - b)(a + b)}$

Числитель представляет собой формулу квадрата суммы $(a + b)^2$:
$\frac{(a + b)^2}{2(a - b)(a + b)}$

Сократим дробь на $(a + b)$:
$\frac{a + b}{2(a - b)}$

3. Выполним умножение на вторую дробь:
$\frac{a + b}{2(a - b)} \cdot \frac{2a}{a + b} = \frac{(a + b) \cdot 2a}{2(a - b)(a + b)}$

Сократим числитель и знаменатель на $2(a + b)$:
$\frac{a}{a - b}$

4. Прибавим последнюю дробь $\frac{b}{b - a}$. Заметим, что $b - a = -(a - b)$, поэтому:
$\frac{b}{b - a} = -\frac{b}{a - b}$

Получаем:
$\frac{a}{a - b} - \frac{b}{a - b} = \frac{a - b}{a - b} = 1$

Значение выражения равно $1$ (числу), следовательно, оно не зависит от переменных $a$ и $b$. Что и требовалось доказать.

б) Упростим выражение:
$\frac{y}{x - y} - \frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left(\frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{x^2 - y^2}\right)$

1. Упростим выражение во второй скобке:
Знаменатель второй дроби: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Общий знаменатель для скобки: $(x - y)^2(x + y)$.
Дополнительные множители: для первой дроби — $(x + y)$, для второй — $(x - y)$.
$\frac{x(x + y) - y(x - y)}{(x - y)^2(x + y)} = \frac{x^2 + xy - yx + y^2}{(x - y)^2(x + y)} = \frac{x^2 + y^2}{(x - y)^2(x + y)}$

2. Разложим числитель первой дроби в уменьшаемом произведении, вынеся $x$ за скобки:
$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x - y)(x + y)$

3. Подставим всё обратно в выражение:
$\frac{y}{x - y} - \frac{x(x - y)(x + y)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x^2 + y^2}{(x - y)^2(x + y)}$

4. Сократим дроби при умножении (на $(x^2 + y^2)$, $(x + y)$ и $(x - y)$):
$\frac{y}{x - y} - \frac{x}{x - y} = \frac{y - x}{x - y}$

Так как $y - x = -(x - y)$, получаем:
$\frac{-(x - y)}{x - y} = -1$

Значение выражения равно $-1$ (числу), следовательно, оно не зависит от переменных $x$ и $y$. Что и требовалось доказать.