Номер 161, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 161, страница 43.

161. Докажите тождество:

a) $\frac{2p-q}{pq}-\frac{1}{p+q}·\left(\frac{p}{q}-\frac{q}{p}\right)=\frac{2p-q}{pq}-\frac{1}{p+q}·$
$$\begin{gathered} ·\frac{p^2-q^2}{qp}=\frac{2p-q}{pq}-\frac{(p-q)(p+q)}{(p+q)pq}=\frac{2p-q}{pq}- \\ -\frac{p-q}{pq}=\frac{2p-q-p+q}{pq}=\frac{p}{pq}=\frac{1}{q} \end{gathered}$$

б) $\frac{a+b}{2(a-b)}-\frac{a-b}{2(a+b)}=\frac{b}{a-b}-\frac{b^2-ab}{a^2-b^2}$
$$\begin{gathered} \frac{{(a+b)}^2-{(a-b)}^2}{2(a-b)(a+b)}=\frac{b}{a-b}-\frac{b(b-a)}{(a-b)(a+b)} \\ \frac{(a+b-a+b)(a+b+a-b)}{2(a-b)(a+b)}= \\ =\frac{b}{a-b}+\frac{b(a-b)}{(a-b)(a+b)} \\ \frac{2b·2a}{2(a-b)(a+b)}=\frac{b}{a-b}+\frac{b}{a+b} \\ \frac{2ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{b(a+b)+b(a-b)}{(a-b)(a+b)} \\ \frac{2ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{ab+b^2+ab-b^2}{(a-b)(a+b)} \\ \frac{2ab}{(a-b)(a+b)}=\frac{2ab}{(a-b)(a+b)} \end{gathered}$$

a)

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, выполняя действия по порядку. Цель — получить выражение, стоящее в правой части.

Исходное выражение в левой части: $ \frac{2p-q}{pq} - \frac{1}{p+q} \cdot \left(\frac{p}{q} - \frac{q}{p}\right) $

1. Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $pq$:

$ \frac{p}{q} - \frac{q}{p} = \frac{p \cdot p}{pq} - \frac{q \cdot q}{pq} = \frac{p^2 - q^2}{pq} $

Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, разложим числитель на множители:

$ \frac{p^2 - q^2}{pq} = \frac{(p-q)(p+q)}{pq} $

2. Теперь выполним умножение:

$ \frac{1}{p+q} \cdot \frac{(p-q)(p+q)}{pq} $

Сокращаем общий множитель $(p+q)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $p+q \ne 0$):

$ \frac{1}{\cancel{p+q}} \cdot \frac{(p-q)\cancel{(p+q)}}{pq} = \frac{p-q}{pq} $

3. Подставим полученный результат в исходное выражение и выполним вычитание:

$ \frac{2p-q}{pq} - \frac{p-q}{pq} $

Так как у дробей одинаковый знаменатель, вычитаем их числители:

$ \frac{(2p-q) - (p-q)}{pq} = \frac{2p - q - p + q}{pq} = \frac{p}{pq} $

Сокращаем дробь на $p$ (при условии, что $p \ne 0$):

$ \frac{\cancel{p}}{\cancel{p}q} = \frac{1}{q} $

Мы преобразовали левую часть тождества и получили выражение, равное правой части: $ \frac{1}{q} = \frac{1}{q} $. Тождество справедливо для всех допустимых значений переменных ($p \ne 0, q \ne 0, p \ne -q$).

Ответ: тождество доказано.

б)

Для доказательства этого тождества преобразуем по отдельности его левую и правую части и покажем, что они равны одному и тому же выражению.

Преобразование левой части: $ \frac{a+b}{2(a-b)} - \frac{a-b}{2(a+b)} $

1. Приведем дроби к общему знаменателю $2(a-b)(a+b)$:

$ \frac{(a+b)(a+b)}{2(a-b)(a+b)} - \frac{(a-b)(a-b)}{2(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{2(a-b)(a+b)} $

2. Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$:

$ \frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2)}{2(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2}{2(a-b)(a+b)} $

3. Приведем подобные слагаемые в числителе и сократим полученную дробь:

$ \frac{4ab}{2(a-b)(a+b)} = \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} $

Используя формулу разности квадратов, преобразуем знаменатель:

$ \frac{2ab}{a^2-b^2} $

Преобразование правой части: $ \frac{b}{a-b} - \frac{b^2-ab}{a^2-b^2} $

1. Разложим знаменатель второй дроби на множители: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. Общий знаменатель — $(a-b)(a+b)$.

$ \frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{b^2-ab}{(a-b)(a+b)} $

2. Запишем дроби под общим знаменателем и упростим числитель:

$ \frac{b(a+b) - (b^2-ab)}{(a-b)(a+b)} = \frac{ab+b^2-b^2+ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{2ab}{(a-b)(a+b)} $

3. Свернем знаменатель по формуле разности квадратов:

$ \frac{2ab}{a^2-b^2} $

В результате преобразований мы получили, что левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению: $ \frac{2ab}{a^2-b^2} = \frac{2ab}{a^2-b^2} $. Тождество справедливо для всех допустимых значений переменных ($a \ne b, a \ne -b$).

Ответ: тождество доказано.