Номер 164, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 164, страница 43.

164. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения является натуральным числом.

$$\begin{gathered} \left(\frac{9}{n^2}+\frac{n}{3}\right):\left(\frac{3}{n^2}-\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\right)= \\ =\frac{27+n^3}{3n^2}:\frac{9-3n+n^2}{3n^2}= \\ =\frac{(3+n)(9-3n+n^2)}{3n^2}·\frac{3n^2}{9-3n+n^2}=3+n \end{gathered}$$

при любом $n\in N$ выражение $3+n\in N$

Для доказательства данного утверждения необходимо упростить исходное выражение.

Рассмотрим выражение $ (\frac{9}{n^2} + \frac{n}{3}) : (\frac{3}{n^2} - \frac{1}{n} + \frac{1}{3}) $.

Сначала выполним действия в каждой из скобок, приведя дроби к общему знаменателю.

В первых скобках общим знаменателем будет $3n^2$:

$ \frac{9}{n^2} + \frac{n}{3} = \frac{9 \cdot 3}{n^2 \cdot 3} + \frac{n \cdot n^2}{3 \cdot n^2} = \frac{27 + n^3}{3n^2} $

Во вторых скобках общим знаменателем также будет $3n^2$:

$ \frac{3}{n^2} - \frac{1}{n} + \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3}{n^2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 3n}{n \cdot 3n} + \frac{1 \cdot n^2}{3 \cdot n^2} = \frac{9 - 3n + n^2}{3n^2} $

Теперь выполним деление полученных дробей. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{27 + n^3}{3n^2} : \frac{n^2 - 3n + 9}{3n^2} = \frac{n^3 + 27}{3n^2} \cdot \frac{3n^2}{n^2 - 3n + 9} $

Поскольку $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то $3n^2 \ne 0$, и мы можем сократить дробь на $3n^2$:

$ \frac{n^3 + 27}{n^2 - 3n + 9} $

Числитель $n^3 + 27$ представляет собой сумму кубов $n^3 + 3^3$. Разложим его на множители по формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$ n^3 + 27 = (n+3)(n^2 - n \cdot 3 + 3^2) = (n+3)(n^2 - 3n + 9) $

Подставим разложенный числитель обратно в выражение и сократим дробь:

$ \frac{(n+3)(n^2 - 3n + 9)}{n^2 - 3n + 9} = n+3 $

(Сокращение возможно, так как выражение $n^2 - 3n + 9$ не равно нулю ни при каком значении $n$, его дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0$).

В результате упрощения мы получили выражение $n+3$. По условию, $n$ — любое натуральное число. Сумма натурального числа $n$ и натурального числа $3$ всегда будет являться натуральным числом.

Ответ: Значение выражения при любом натуральном $n$ равно $n+3$, что является натуральным числом, и это доказывает утверждение.