Номер 171, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 171, страница 44.

171. (Для работы в парах.) При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) Обсудите, о каких значениях переменной х в заданиях а) и б) можно сказать сразу, что они не являются допустимыми. Что надо сделать, чтобы найти другие значения х, которые не являются допустимыми?

2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.

3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования. Исправьте замеченные ошибки.

a) $\frac{1}{3-{\displaystyle \frac{1}{x-2}}}$

$x\ne 2;$

$$\begin{gathered} 3-\frac{1}{x-2}\ne 0; \\ 3(x-2)-1\ne 0 \\ 3x-6-1\ne 0 \\ 3x-7\ne 0 \\ 3x\ne 7 \\ x\ne \frac{7}{3} \\ x\ne 2\frac{1}{3} \end{gathered}$$

$\frac{3(x-2)-1}{x-2}\ne 0$

Ответ: при любых значениях, кроме 2 и $2\frac{1}{3}$

б) $\frac{6x}{2+{\displaystyle \frac{1}{x+8}}}$

$x\ne -8;$

$$\begin{gathered} 2+\frac{1}{x+8}\ne 0; \\ 2(x+8)+1\ne 0 \\ 2x+16+1\ne 0 \\ 2x+17\ne 0 \\ 2x\ne -17 \\ x\ne -\frac{17}{2} \\ x\ne -8\frac{1}{2} \end{gathered}$$

$\frac{2(x+8)+1}{x+8}\ne 0$

Ответ: при любых значениях, кроме -8 и $-8\frac{1}{2}$

1)

Чтобы алгебраическое выражение имело смысл, необходимо, чтобы все знаменатели, присутствующие в нем, не обращались в ноль. Данные выражения являются многоэтажными дробями, поэтому у них есть несколько знаменателей.

Сразу, без дополнительных преобразований, можно определить недопустимые значения $x$, которые обращают в ноль знаменатели "внутренних" дробей:

• В выражении а) $\frac{1}{3 - \frac{1}{x-2}}$ есть внутренняя дробь $\frac{1}{x-2}$. Ее знаменатель $x-2$ не должен быть равен нулю. Отсюда сразу получаем первое недопустимое значение: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
• В выражении б) $\frac{6x}{2 + \frac{1}{x+8}}$ есть внутренняя дробь $\frac{1}{x+8}$. Ее знаменатель $x+8$ не должен быть равен нулю. Отсюда сразу получаем первое недопустимое значение: $x+8 \neq 0 \implies x \neq -8$.

Чтобы найти другие недопустимые значения $x$, нужно учесть знаменатели "внешних" дробей. Для этого необходимо знаменатель всей дроби приравнять к нулю и решить полученное уравнение. Корни этого уравнения и будут остальными недопустимыми значениями для $x$.

а) Найдем, при каких значениях $x$ имеет смысл выражение $\frac{1}{3 - \frac{1}{x-2}}$.

Выражение имеет смысл, если выполнены два условия:

1. Знаменатель внутренней дроби не равен нулю: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
2. Знаменатель основной дроби не равен нулю: $3 - \frac{1}{x-2} \neq 0$.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель основной дроби равен нулю, решив уравнение:

$3 - \frac{1}{x-2} = 0$

Перенесем дробь в правую часть:

$3 = \frac{1}{x-2}$

Умножим обе части уравнения на $(x-2)$, при условии, что $x-2 \neq 0$:

$3(x-2) = 1$

$3x - 6 = 1$

$3x = 7$

$x = \frac{7}{3}$

Следовательно, выражение не имеет смысла при $x=2$ и $x=\frac{7}{3}$.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x=2$ и $x=\frac{7}{3}$.

б) Найдем, при каких значениях $x$ имеет смысл выражение $\frac{6x}{2 + \frac{1}{x+8}}$.

Выражение имеет смысл, если выполнены два условия:

1. Знаменатель внутренней дроби не равен нулю: $x+8 \neq 0 \implies x \neq -8$.
2. Знаменатель основной дроби не равен нулю: $2 + \frac{1}{x+8} \neq 0$.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель основной дроби равен нулю, решив уравнение:

$2 + \frac{1}{x+8} = 0$

Перенесем 2 в правую часть:

$\frac{1}{x+8} = -2$

Умножим обе части уравнения на $(x+8)$, при условии, что $x+8 \neq 0$:

$1 = -2(x+8)$

$1 = -2x - 16$

$2x = -16 - 1$

$2x = -17$

$x = -\frac{17}{2} = -8,5$

Следовательно, выражение не имеет смысла при $x=-8$ и $x=-8,5$.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $x=-8$ и $x=-\frac{17}{2}$.