Номер 172, страница 44 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 172, страница 44.

172. Найдите среднее гармоническое чисел:

а) 3, 5; б) 2, 4, 8; в) 5, 10, 15, 20.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{5+3}{15}}}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{8}{15}}}=2:\frac{8}{15}= \\ =2·\frac{15}{8}=\frac{15}{4}=3,75 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{3}{{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}}=\frac{3}{{\displaystyle \frac{4}{8}}+{\displaystyle \frac{2}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}}=\frac{3}{{\displaystyle \frac{7}{8}}}= \\ =3:\frac{7}{8}=3·\frac{8}{7}=\frac{24}{7}=3\frac{3}{7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{4}{{\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{10}}+{\displaystyle \frac{1}{15}}+{\displaystyle \frac{1}{20}}}= \\ =\frac{4}{{\displaystyle \frac{12}{60}}+{\displaystyle \frac{6}{60}}+{\displaystyle \frac{4}{60}}+{\displaystyle \frac{3}{60}}}= \\ =\frac{4}{{\displaystyle \frac{25}{60}}}=4:\frac{25}{60}=4·\frac{60}{25}= \\ =4·\frac{12}{5}=\frac{48}{5}=\frac{96}{10}=9,6 \end{gathered}$$

Среднее гармоническое — это число, обратное среднему арифметическому их обратных. Для набора чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ среднее гармоническое $H$ вычисляется по формуле:

$H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}$

где $n$ — количество чисел в наборе.

а)

Найдём среднее гармоническое чисел 3 и 5. Здесь количество чисел $n=2$, а сами числа $x_1=3$ и $x_2=5$.

1. Сначала вычислим сумму обратных чисел:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15}$

2. Теперь подставим значения в формулу среднего гармонического:

$H = \frac{2}{\frac{8}{15}} = 2 \cdot \frac{15}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4} = 3,75$

Ответ: $3,75$

б)

Найдём среднее гармоническое чисел 2, 4 и 8. Здесь количество чисел $n=3$, а сами числа $x_1=2, x_2=4, x_3=8$.

1. Вычислим сумму обратных чисел. Общий знаменатель равен 8.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4+2+1}{8} = \frac{7}{8}$

2. Подставим значения в формулу:

$H = \frac{3}{\frac{7}{8}} = 3 \cdot \frac{8}{7} = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7}$

Ответ: $\frac{24}{7}$ (или $3\frac{3}{7}$)

в)

Найдём среднее гармоническое чисел 5, 10, 15 и 20. Здесь количество чисел $n=4$, а сами числа $x_1=5, x_2=10, x_3=15, x_4=20$.

1. Вычислим сумму обратных чисел. Наименьший общий знаменатель для 5, 10, 15 и 20 равен 60.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{12}{60} + \frac{6}{60} + \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{12+6+4+3}{60} = \frac{25}{60}$

Сократим полученную дробь: $\frac{25}{60} = \frac{5}{12}$.

2. Подставим значения в формулу:

$H = \frac{4}{\frac{5}{12}} = 4 \cdot \frac{12}{5} = \frac{48}{5} = 9,6$

Ответ: $9,6$