Номер 160, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 160, страница 43.

160. При каком значении b выражение 81(0,5b + 9)² + (0,5b - 9)² принимает наибольшее значение? Найдите это значение.

$$\begin{gathered} \frac{81}{{(0,5b+9)}^2+{(0,5b-9)}^2}= \\ =\frac{81}{0,25b^2+9b+81+0,25b^2-9b+81}= \\ =\frac{81}{0,5b^2+162}=\frac{81}{0,5(b^2+324)}= \\ =\frac{810}{5(b^2+324)}=\frac{162}{b^2+324} \end{gathered}$$

при b=0 данное выражение принимает наибольшее значение, равное $\frac{162}{324}=\frac{1}{2}$

Ответ: при b=0; $\frac{1}{2}$

Чтобы найти наибольшее значение дроби с постоянным положительным числителем, необходимо найти наименьшее значение её знаменателя. Обозначим данное выражение как $E(b)$, а его знаменатель как $D(b)$.

$E(b) = \frac{81}{(0.5b + 9)^2 + (0.5b - 9)^2}$

$D(b) = (0.5b + 9)^2 + (0.5b - 9)^2$

Упростим выражение в знаменателе, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$ и квадрат разности $(a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$.

$D(b) = ((0.5b)^2 + 2 \cdot 0.5b \cdot 9 + 9^2) + ((0.5b)^2 - 2 \cdot 0.5b \cdot 9 + 9^2)$

$D(b) = (0.25b^2 + 9b + 81) + (0.25b^2 - 9b + 81)$

Приведем подобные слагаемые, взаимно уничтожив $9b$ и $-9b$:

$D(b) = 0.25b^2 + 0.25b^2 + 81 + 81 = 0.5b^2 + 162$

Таким образом, исходное выражение равно $\frac{81}{0.5b^2 + 162}$.

При каком значении b выражение принимает наибольшее значение?

Как мы установили, выражение достигает максимума, когда его знаменатель $D(b) = 0.5b^2 + 162$ минимален. Знаменатель является квадратичной функцией от $b$ с положительным коэффициентом при $b^2$, поэтому его график — парабола с ветвями вверх. Минимум такой функции достигается в ее вершине. Выражение $b^2$ всегда неотрицательно ($b^2 \ge 0$), и его наименьшее значение равно 0, которое достигается при $b = 0$.

Следовательно, знаменатель $D(b)$ принимает свое наименьшее значение при $b=0$. Это и есть искомое значение $b$.

Ответ: при $b = 0$.

Найдите это значение.

Чтобы найти наибольшее значение всего выражения, нужно подставить найденное значение $b=0$ в исходную формулу. Проще всего это сделать, подставив наименьшее значение знаменателя, которое мы уже вычислили.

Минимальное значение знаменателя при $b=0$:

$D_{min} = 0.5 \cdot (0)^2 + 162 = 162$.

Теперь вычислим наибольшее значение всего выражения:

$E_{max} = \frac{81}{D_{min}} = \frac{81}{162} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Ответ: $0.5$.