Номер 160, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

160. При каком значении b выражение 81(0,5b + 9)² + (0,5b - 9)² принимает наибольшее значение? Найдите это значение.

$$\begin{gathered} \frac{81}{{(0,5b+9)}^2+{(0,5b-9)}^2}= \\ =\frac{81}{0,25b^2+9b+81+0,25b^2-9b+81}= \\ =\frac{81}{0,5b^2+162}=\frac{81}{0,5(b^2+324)}= \\ =\frac{810}{5(b^2+324)}=\frac{162}{b^2+324} \end{gathered}$$

при b=0 данное выражение принимает наибольшее значение, равное $\frac{162}{324}=\frac{1}{2}$

Ответ: при b=0; $\frac{1}{2}$

Упростим выражение в знаменателе дроби, раскрыв скобки по формулам сокращенного умножения (квадрат суммы и квадрат разности):
$(0,5b + 9)^2 + (0,5b - 9)^2 = ((0,5b)^2 + 2 \cdot 0,5b \cdot 9 + 9^2) + ((0,5b)^2 - 2 \cdot 0,5b \cdot 9 + 9^2)$

$= (0,25b^2 + 9b + 81) + (0,25b^2 - 9b + 81)$

Приведем подобные слагаемые ($9b$ и $-9b$ взаимно уничтожаются):
$= 0,25b^2 + 0,25b^2 + 81 + 81 = 0,5b^2 + 162$

Теперь подставим полученный знаменатель обратно в дробь:
$\frac{81}{(0,5b + 9)^2 + (0,5b - 9)^2} = \frac{81}{0,5b^2 + 162}$

Дробь принимает наибольшее значение тогда, когда ее знаменатель принимает наименьшее значение (поскольку числитель является постоянным положительным числом $81$).

Рассмотрим знаменатель:
$0,5b^2 + 162$

Так как квадрат любого числа больше или равен нулю ($b^2 \ge 0$), наименьшее значение выражения $0,5b^2$ достигается при $b = 0$ и равно нулю:
$0,5 \cdot 0^2 = 0$

Следовательно, наименьшее значение знаменателя равно:
$0 + 162 = 162$

Теперь найдем наибольшее значение всей дроби при $b = 0$:
$\frac{81}{162} = \frac{1}{2} = 0,5$

Ответ: наибольшее значение равно $0,5$, оно достигается при $b = 0$.