Номер 154, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 154, страница 42.

154. Выполните действия:

a) $\frac{a^2-25}{a+3}·\frac{1}{a^2+5a}-\frac{a+5}{a^2-3a}=\frac{(a-5)(a+5)}{(a+3)a(a+5)}-$
$$\begin{gathered} -\frac{a+5}{a(a-3)}=\frac{a-5}{a(a+3)}-\frac{a+5}{a(a-3)}= \\ =\frac{(a-5)(a-3)-(a+5)(a+3)}{a(a+3)(a-3)}= \\ =\frac{a^2-3a-5a+15-(a^2+3a+5a+15)}{a(a+3)(a-3)}= \\ =\frac{-16a}{a(a+3)(a-3)}=-\frac{16}{a^2-9}=\frac{16}{9-a^2} \end{gathered}$$

б) $\frac{1-2x}{2x+1}+\frac{x^2+3x}{4x^2-1}:\frac{3+x}{4x+2}=\frac{6x-1}{4x^2-1}$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} \frac{x^2+3x}{4x^2-1}:\frac{3+x}{4x+2}=\frac{x(x+3)·2(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)·(3+x)}= \\ =\frac{2x}{2x-1} \\ \mathbf{2}\mathbf{)} \frac{1-2x}{2x+1}+\frac{2x}{2x-1}= \\ =\frac{(1-2x)(2x-1)+2x(2x+1)}{(2x+1)(2x-1)}= \\ =\frac{2x-1-4x^2+2x+4x^2+2x}{(2x+1)(2x-1)}=\frac{6x-1}{4x^2-1} \end{gathered}$$

в) $\frac{b-c}{a+b}-\frac{ab-b^2}{a^2-ac}·\frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}=-\frac{c}{a}$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} \frac{ab-b^2}{a^2-ac}·\frac{a^2-c^2}{a^2-b^2}= \\ =\frac{b\left(\bcancel{a-b}\right)·\left(\cancel{a-c}\right)(a+c)}{a\left(\cancel{a-c}\right)·\left(\bcancel{a-b}\right)(a+b)}=\frac{b(a+c)}{a(a+b)} \\ \mathbf{2}\mathbf{)}\frac{b-c}{a+b}-\frac{b(a+c)}{a(a+b)}=\frac{a(b-c)-b(a+c)}{a(a+b)}= \\ =\frac{ab-ac-ab-bc}{a(a+b)}=\frac{-(ac+bc)}{a(a+b)}= \\ =\frac{-c(a+b)}{a(a+b)}=-\frac{c}{a} \end{gathered}$$

г) $\frac{a^2-4}{x^2-9}:\frac{a^2-2a}{xy+3y}+\frac{2-y}{x-3}=\frac{2a+2y}{ax-3a}$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{a^2-4}{x^2-9}:\frac{a^2-2a}{xy+3y}= \\ =\frac{\left(\bcancel{a-2}\right)(a+2)·y\left(\cancel{x+3}\right)}{(x-3)\left(\cancel{x+3}\right)·a\left(\bcancel{a-2}\right)}=\frac{y(a+2)}{a(x-3)} \\ \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{y(a+2)}{a(x-3)}+\frac{2-y}{x-3}=\frac{y(a+2)+a(2-y)}{a(x-3)}= \\ =\frac{ay+2y+2a-ay}{a(x-3)}=\frac{2a+2y}{ax-3a} \end{gathered}$$

а) $ \frac{a^2-25}{a+3} \cdot \frac{1}{a^2+5a} - \frac{a+5}{a^2-3a} $
В первую очередь выполним умножение, а затем вычитание. Для этого разложим выражения в числителях и знаменателях на множители:
$ a^2-25 = (a-5)(a+5) $
$ a^2+5a = a(a+5) $
$ a^2-3a = a(a-3) $
Подставим разложенные на множители выражения обратно в пример:
$ \frac{(a-5)(a+5)}{a+3} \cdot \frac{1}{a(a+5)} - \frac{a+5}{a(a-3)} $
Сократим дробь в первом члене на $ (a+5) $:
$ \frac{a-5}{a+3} \cdot \frac{1}{a} - \frac{a+5}{a(a-3)} = \frac{a-5}{a(a+3)} - \frac{a+5}{a(a-3)} $
Теперь приведем дроби к общему знаменателю $ a(a+3)(a-3) $:
$ \frac{(a-5)(a-3)}{a(a+3)(a-3)} - \frac{(a+5)(a+3)}{a(a-3)(a+3)} $
Запишем под общей чертой и раскроем скобки в числителе:
$ \frac{(a^2-3a-5a+15) - (a^2+3a+5a+15)}{a(a+3)(a-3)} = \frac{(a^2-8a+15) - (a^2+8a+15)}{a(a^2-9)} $
Упростим числитель:
$ \frac{a^2-8a+15-a^2-8a-15}{a(a^2-9)} = \frac{-16a}{a(a^2-9)} $
Сократим дробь на $ a $:
$ \frac{-16}{a^2-9} = -\frac{16}{a^2-9} $
Ответ: $ -\frac{16}{a^2-9} $

б) $ \frac{1-2x}{2x+1} + \frac{x^2+3x}{4x^2-1} : \frac{3+x}{4x+2} $
Сначала выполним деление, затем сложение. Заменим деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{1-2x}{2x+1} + \frac{x^2+3x}{4x^2-1} \cdot \frac{4x+2}{3+x} $
Разложим числители и знаменатели на множители:
$ x^2+3x = x(x+3) $
$ 4x^2-1 = (2x-1)(2x+1) $
$ 4x+2 = 2(2x+1) $
Подставим в выражение:
$ \frac{1-2x}{2x+1} + \frac{x(x+3)}{(2x-1)(2x+1)} \cdot \frac{2(2x+1)}{x+3} $
Сократим общие множители $ (x+3) $ и $ (2x+1) $ во втором слагаемом:
$ \frac{1-2x}{2x+1} + \frac{x}{(2x-1)} \cdot \frac{2}{1} = \frac{1-2x}{2x+1} + \frac{2x}{2x-1} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ (2x+1)(2x-1) = 4x^2-1 $:
$ \frac{(1-2x)(2x-1)}{(2x+1)(2x-1)} + \frac{2x(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)} $
Вынесем знак минус в первой дроби: $ (1-2x) = -(2x-1) $.
$ \frac{-(2x-1)(2x-1) + 2x(2x+1)}{4x^2-1} = \frac{-(2x-1)^2 + 4x^2+2x}{4x^2-1} $
Раскроем скобки и упростим числитель:
$ \frac{-(4x^2-4x+1) + 4x^2+2x}{4x^2-1} = \frac{-4x^2+4x-1+4x^2+2x}{4x^2-1} = \frac{6x-1}{4x^2-1} $
Ответ: $ \frac{6x-1}{4x^2-1} $

в) $ \frac{b-c}{a+b} - \frac{ab-b^2}{a^2-ac} \cdot \frac{a^2-c^2}{a^2-b^2} $
Сначала выполним умножение. Разложим числители и знаменатели на множители:
$ ab-b^2 = b(a-b) $
$ a^2-ac = a(a-c) $
$ a^2-c^2 = (a-c)(a+c) $
$ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $
Подставим в произведение:
$ \frac{b(a-b)}{a(a-c)} \cdot \frac{(a-c)(a+c)}{(a-b)(a+b)} $
Сократим общие множители $ (a-b) $ и $ (a-c) $:
$ \frac{b}{a} \cdot \frac{a+c}{a+b} = \frac{b(a+c)}{a(a+b)} $
Теперь выполним вычитание:
$ \frac{b-c}{a+b} - \frac{b(a+c)}{a(a+b)} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ a(a+b) $:
$ \frac{a(b-c)}{a(a+b)} - \frac{b(a+c)}{a(a+b)} = \frac{a(b-c) - b(a+c)}{a(a+b)} $
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{ab-ac-ab-bc}{a(a+b)} = \frac{-ac-bc}{a(a+b)} $
Вынесем общий множитель $ -c $ в числителе:
$ \frac{-c(a+b)}{a(a+b)} $
Сократим дробь на $ (a+b) $:
$ \frac{-c}{a} = -\frac{c}{a} $
Ответ: $ -\frac{c}{a} $

г) $ \frac{a^2-4}{x^2-9} : \frac{a^2-2a}{xy+3y} + \frac{2-y}{x-3} $
Сначала выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{a^2-4}{x^2-9} \cdot \frac{xy+3y}{a^2-2a} + \frac{2-y}{x-3} $
Разложим числители и знаменатели на множители:
$ a^2-4 = (a-2)(a+2) $
$ x^2-9 = (x-3)(x+3) $
$ xy+3y = y(x+3) $
$ a^2-2a = a(a-2) $
Подставим в выражение:
$ \frac{(a-2)(a+2)}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{y(x+3)}{a(a-2)} + \frac{2-y}{x-3} $
Сократим общие множители $ (a-2) $ и $ (x+3) $:
$ \frac{a+2}{x-3} \cdot \frac{y}{a} + \frac{2-y}{x-3} = \frac{y(a+2)}{a(x-3)} + \frac{2-y}{x-3} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ a(x-3) $:
$ \frac{y(a+2)}{a(x-3)} + \frac{a(2-y)}{a(x-3)} $
Запишем под общей чертой и раскроем скобки в числителе:
$ \frac{ay+2y+2a-ay}{a(x-3)} = \frac{2y+2a}{a(x-3)} $
Вынесем общий множитель $ 2 $ в числителе:
$ \frac{2(y+a)}{a(x-3)} $
Ответ: $ \frac{2(a+y)}{a(x-3)} $