Номер 155, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 155, страница 42.

155. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}(a^2+2a+1)·\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a^2-1}-\frac{1}{a-1}\right)= \\ -\frac{a+1}{a-1}=\frac{a+1}{1-a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 1) \frac{1}{a+1}+\frac{1}{a^2-1}-\frac{1}{a-1}=\frac{a-1+1-(a+1)}{(a-1)(a+1)}= \\ =\frac{a-a-1}{(a-1)(a+1)}=-\frac{1}{(a-1)(a+1)} \\ 2) (a^2+2a+1)·\left(-\frac{1}{(a-1)(a+1)}\right)= \\ =-\frac{{(a+1)}^2}{(a-1)(a+1)}=-\frac{a+1}{a-1} \end{gathered}$$

б) $\left(1-\frac{9x^2+4}{12x}\right):\left(\frac{1}{3x}-\frac{1}{2}\right)+1=\frac{3x}{2}$

$$\begin{gathered} 1) 1-\frac{9x^2+4}{12x}=\frac{12x-9x^2-4}{12x}= \\ =\frac{-(9x^2-12x+4)}{12x}=\frac{{(3x-2)}^2}{12x} \\ 2) \frac{1}{3x}-\frac{1}{2}=\frac{2-3x}{6x} \\ 3) -\frac{{(3x-2)}^2}{12x}:\frac{2-3x}{6x}=-\frac{{(3x-2)}^2·6x}{12x·(-(3x-2\left)\right)}= \\ =\frac{3x-2}{2} \\ 4) \frac{3x-2}{2}+1=\frac{3x-2+2}{2}=\frac{3x}{2} \end{gathered}$$

в) $1-\left(\frac{2}{a-2}-\frac{2}{a+2}\right)·\left(a-\frac{3a+2}{4}\right)=\frac{a}{a+2}$

$$\begin{gathered} 1) \frac{2}{a-2}-\frac{2}{a+2}=\frac{2(a+2)-2(a-2)}{(a-2)(a+2)}= \\ =\frac{2a+4-2a+4}{(a-2)(a+2)}=\frac{8}{(a-2)(a+2)} \\ 2) a-\frac{3a+2}{4}=\frac{4a-3a-2}{4}=\frac{a-2}{4} \\ 3) \frac{8}{(a-2)(a+2)}·\frac{a-2}{4}=\frac{2}{a+2} \\ 4) 1-\frac{2}{a+2}=\frac{a+2-2}{a+2}=\frac{a}{a+2} \end{gathered}$$

г) $(y^2-4)\left(\frac{3}{y+2}-\frac{2}{y-2}\right)+5=y-5$

$$\begin{gathered} 1) \frac{3}{y+2}-\frac{2}{y-2}=\frac{3(y-2)-2(y+2)}{(y+2)(y-2)}= \\ =\frac{3y-6-2y-4}{(y+2)(y-2)}=\frac{y-10}{(y+2)(y-2)} \\ 2) (y^2-4)·\frac{y-10}{y^2-4}=y-10 \\ 3) y-10+5=y-5 \end{gathered}$$

а)

Для упрощения выражения $(a^2 + 2a + 1) \cdot \left(\frac{1}{a+1} + \frac{1}{a^2-1} - \frac{1}{a-1}\right)$ выполним действия по шагам.

1. Заметим, что первый множитель $a^2 + 2a + 1$ является полным квадратом суммы: $a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$.

2. Упростим выражение во второй скобке. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель $a^2-1$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $a^2-1 = (a-1)(a+1)$. Это и будет общий знаменатель.

$\frac{1}{a+1} + \frac{1}{a^2-1} - \frac{1}{a-1} = \frac{1 \cdot (a-1)}{(a+1)(a-1)} + \frac{1}{(a-1)(a+1)} - \frac{1 \cdot (a+1)}{(a-1)(a+1)}$

$= \frac{a-1}{a^2-1} + \frac{1}{a^2-1} - \frac{a+1}{a^2-1} = \frac{(a-1) + 1 - (a+1)}{a^2-1} = \frac{a-1+1-a-1}{a^2-1} = \frac{-1}{a^2-1}$.

3. Теперь перемножим полученные упрощенные выражения:

$(a+1)^2 \cdot \left(\frac{-1}{a^2-1}\right) = (a+1)^2 \cdot \left(\frac{-1}{(a-1)(a+1)}\right)$.

Сократим дробь на общий множитель $(a+1)$:

$\frac{(a+1) \cdot (-1)}{a-1} = \frac{-(a+1)}{a-1} = -\frac{a+1}{a-1}$.

Ответ: $-\frac{a+1}{a-1}$.

б)

Для упрощения выражения $\left(1 - \frac{9x^2+4}{12x}\right) : \left(\frac{1}{3x} - \frac{1}{2}\right) + 1$ выполним действия по порядку.

1. Упростим выражение в первых скобках, приведя к общему знаменателю $12x$:

$1 - \frac{9x^2+4}{12x} = \frac{12x}{12x} - \frac{9x^2+4}{12x} = \frac{12x - (9x^2+4)}{12x} = \frac{12x - 9x^2 - 4}{12x} = \frac{-(9x^2 - 12x + 4)}{12x}$.

Выражение в числителе $9x^2 - 12x + 4$ является полным квадратом разности: $(3x-2)^2$.

Таким образом, выражение в первых скобках равно $\frac{-(3x-2)^2}{12x}$.

2. Упростим выражение во вторых скобках. Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{3x}$ и $\frac{1}{2}$ равен $6x$.

$\frac{1}{3x} - \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{3x \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3x}{2 \cdot 3x} = \frac{2-3x}{6x} = \frac{-(3x-2)}{6x}$.

3. Выполним деление:

$\frac{-(3x-2)^2}{12x} : \frac{-(3x-2)}{6x} = \frac{-(3x-2)^2}{12x} \cdot \frac{6x}{-(3x-2)}$.

Сократим отрицательные знаки, а также общие множители $6x$ и $(3x-2)$:

$\frac{(3x-2)^2 \cdot 6x}{12x \cdot (3x-2)} = \frac{3x-2}{2}$.

4. Добавим 1 к полученному результату:

$\frac{3x-2}{2} + 1 = \frac{3x-2}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3x-2+2}{2} = \frac{3x}{2}$.

Ответ: $\frac{3x}{2}$.

в)

Упростим выражение $1 - \left(\frac{2}{a-2} - \frac{2}{a+2}\right) \cdot \left(a - \frac{3a+2}{4}\right)$, следуя порядку действий.

1. Выполним вычитание в первых скобках. Общий знаменатель $(a-2)(a+2) = a^2-4$.

$\frac{2}{a-2} - \frac{2}{a+2} = \frac{2(a+2) - 2(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{2a+4 - 2a+4}{a^2-4} = \frac{8}{a^2-4}$.

2. Упростим выражение во вторых скобках:

$a - \frac{3a+2}{4} = \frac{4a}{4} - \frac{3a+2}{4} = \frac{4a - (3a+2)}{4} = \frac{4a-3a-2}{4} = \frac{a-2}{4}$.

3. Теперь перемножим результаты шагов 1 и 2:

$\frac{8}{a^2-4} \cdot \frac{a-2}{4} = \frac{8}{(a-2)(a+2)} \cdot \frac{a-2}{4}$.

Сократим дробь на 4 и на $(a-2)$:

$\frac{2 \cdot 4}{(a-2)(a+2)} \cdot \frac{a-2}{4} = \frac{2}{a+2}$.

4. Выполним вычитание из 1:

$1 - \frac{2}{a+2} = \frac{a+2}{a+2} - \frac{2}{a+2} = \frac{a+2-2}{a+2} = \frac{a}{a+2}$.

Ответ: $\frac{a}{a+2}$.

г)

Упростим выражение $(y^2-4)\left(\frac{3}{y+2} - \frac{2}{y-2}\right) + 5$.

1. Сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(y+2)(y-2) = y^2-4$.

$\frac{3}{y+2} - \frac{2}{y-2} = \frac{3(y-2) - 2(y+2)}{(y+2)(y-2)} = \frac{3y-6 - (2y+4)}{y^2-4} = \frac{3y-6-2y-4}{y^2-4} = \frac{y-10}{y^2-4}$.

2. Теперь умножим полученную дробь на $(y^2-4)$:

$(y^2-4) \cdot \frac{y-10}{y^2-4}$.

Сократим на $(y^2-4)$, при условии что $y^2-4 \neq 0$ (т.е. $y \neq \pm 2$):

$y-10$.

3. В конце добавим 5 к полученному результату:

$(y-10) + 5 = y - 5$.

Ответ: $y-5$.