Номер 192, страница 50 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Функция у = k/x и её график. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 192, страница 50.

192. Прямоугольный параллелепипед со сторонами основания а см и b см и высотой 20 см имеет объём, равный 120 см³. Выразите формулой зависимость b от а. Является ли эта зависимость обратной пропорциональностью? Какова область определения этой функции? Постройте график.

$$\begin{gathered} a·b·20=120 \\ ab=6 \end{gathered}$$
$b=\frac{6}{a}$ - обратная пропорциональность

Область определения функции: a>0

a	1	1,5	2	3	4	6
b	6	4	3	2	1,5	1

Выразите формулой зависимость b от a.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется по формуле $V = l \cdot w \cdot h$, где $l$ и $w$ – стороны основания, а $h$ – высота. В нашей задаче стороны основания равны $a$ см и $b$ см, высота $h = 20$ см, а объём $V = 120$ см?. Подставим известные значения в формулу объёма: $120 = a \cdot b \cdot 20$ Чтобы выразить зависимость $b$ от $a$, решим это уравнение относительно $b$: $20ab = 120$ Разделим обе части уравнения на $20a$ (мы можем это сделать, так как $a$, будучи длиной стороны, не может быть равно нулю): $b = \frac{120}{20a}$ $b = \frac{6}{a}$

Ответ: $b = \frac{6}{a}$

Является ли эта зависимость обратной пропорциональностью?

Зависимость между двумя переменными называется обратной пропорциональностью, если она может быть выражена формулой вида $y = \frac{k}{x}$, где $k$ – некоторое число, не равное нулю, называемое коэффициентом пропорциональности. Полученная нами формула $b = \frac{6}{a}$ полностью соответствует этому определению, где $y$ – это $b$, $x$ – это $a$, а коэффициент пропорциональности $k=6$. Следовательно, зависимость $b$ от $a$ является обратной пропорциональностью.

Ответ: Да, является.

Какова область определения этой функции?

Область определения функции – это множество всех допустимых значений аргумента (в данном случае, переменной $a$). С математической точки зрения, функция $b(a) = \frac{6}{a}$ определена для всех $a \ne 0$. Однако, в контексте данной задачи, переменная $a$ представляет собой длину стороны основания параллелепипеда. Длина не может быть отрицательной или равной нулю. Следовательно, $a$ должно быть строго больше нуля. Таким образом, область определения функции с учётом физического смысла задачи – это все положительные числа.

Ответ: $a > 0$, или в виде интервала $(0; +\infty)$.

Постройте график.

Графиком функции $b = \frac{6}{a}$ является гипербола. Так как область определения функции $a > 0$, мы строим только ту ветвь гиперболы, которая находится в первой координатной четверти. Для построения графика составим таблицу значений:

$a$	0.5	1	2	3	6	12
$b$	12	6	3	2	1	0.5

Нанесём эти точки на координатную плоскость и соединим их плавной линией. Ось абсцисс будет осью $a$, а ось ординат — осью $b$.

Ответ: График функции представляет собой ветвь гиперболы, расположенную в первой координатной четверти.