Номер 190, страница 49 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Функция у = k/x и её график. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 190, страница 49.

190. Решите графически уравнение:

a) $\frac{8}{x}=x^2$

$y=\frac{8}{x}$

x	1	2	4	8	-1	-2	-4	-8
y	8	4	2	1	-8	-4	-2	-1

$y=x^2$

x	0	1	2	3	-1	-2	-3
y	0	1	4	9	1	4	9

x=2

Ответ: 2

б) $\frac{8}{x}=x^3$

$$\begin{gathered} y=\frac{8}{x} \text{(см. табл. в }\mathit{\text{а}}\mathbf{\text{)}}\text{ )} \\ y=x^3 \end{gathered}$$

x	0	1	2	-1	-2
y	0	1	8	-1	-8

Ответ: $\approx \pm 1,7$

а)

Чтобы решить уравнение $ \frac{8}{x} = x^2 $ графически, нужно построить в одной системе координат графики функций $ y = \frac{8}{x} $ и $ y = x^2 $ и найти абсциссу(ы) их точек пересечения.

1. Построение графика функции $ y = x^2 $.
Это парабола, вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх. Для построения возьмем несколько точек:
При $ x = 0, y = 0 $
При $ x = 1, y = 1^2 = 1 $
При $ x = 2, y = 2^2 = 4 $
При $ x = -1, y = (-1)^2 = 1 $
При $ x = -2, y = (-2)^2 = 4 $

2. Построение графика функции $ y = \frac{8}{x} $.
Это гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях. Область определения $ x \neq 0 $. Для построения возьмем несколько точек:
При $ x = 1, y = 8/1 = 8 $
При $ x = 2, y = 8/2 = 4 $
При $ x = 4, y = 8/4 = 2 $
При $ x = 8, y = 8/8 = 1 $
При $ x = -2, y = 8/(-2) = -4 $

3. Нахождение точки пересечения.
Совместим графики на одной координатной плоскости. Мы видим, что графики пересекаются в одной точке в первой четверти. Координаты этой точки $(2, 4)$. Абсцисса точки пересечения и является решением уравнения.

Проверка:
Подставим найденное значение $x=2$ в исходное уравнение:
$ \frac{8}{2} = 2^2 $
$ 4 = 4 $
Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $x=2$.

б)

Чтобы решить уравнение $ \frac{8}{x} = x^3 $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = \frac{8}{x} $ и $ y = x^3 $ и найдем абсциссы их точек пересечения.

1. Построение графика функции $ y = x^3 $.
Это кубическая парабола, проходящая через начало координат и симметричная относительно него. Для построения возьмем несколько точек:
При $ x = 0, y = 0 $
При $ x = 1, y = 1^3 = 1 $
При $ x = 2, y = 2^3 = 8 $
При $ x = -1, y = (-1)^3 = -1 $
При $ x = -2, y = (-2)^3 = -8 $

2. Построение графика функции $ y = \frac{8}{x} $.
Как и в предыдущем пункте, это гипербола с ветвями в первой и третьей четвертях. Возьмем точки:
При $ x = 1, y = 8 $
При $ x = 2, y = 4 $
При $ x = -1, y = -8 $
При $ x = -2, y = -4 $

3. Нахождение точек пересечения.
Совместим графики на одной координатной плоскости. Графики пересекаются в двух точках: одна в первой координатной четверти, другая — в третьей.
В первой четверти: при $x=1$ значение функции $y=x^3$ равно 1, а $y=8/x$ равно 8. При $x=2$ значение $y=x^3$ равно 8, а $y=8/x$ равно 4. Значит, точка пересечения находится между $x=1$ и $x=2$.
В третьей четверти: при $x=-1$ значение функции $y=x^3$ равно -1, а $y=8/x$ равно -8. При $x=-2$ значение $y=x^3$ равно -8, а $y=8/x$ равно -4. Значит, точка пересечения находится между $x=-2$ и $x=-1$.
Для нахождения точного значения решим уравнение алгебраически:
$ \frac{8}{x} = x^3 $
$ 8 = x^4 $
$ x = \pm \sqrt[4]{8} $
Таким образом, уравнение имеет два корня: $x_1 = \sqrt[4]{8}$ и $x_2 = -\sqrt[4]{8}$. Графический метод позволяет нам увидеть количество корней и их приблизительное расположение.

Ответ: $x_1 = \sqrt[4]{8}, x_2 = -\sqrt[4]{8}$.