Страница 23 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

73. Разложите на множители:

а) 8x⁴ – 16x³y;

б) 15xy⁵ + 10y²;

в) 8a² – 50y²;

г) 18b² – 98a²;

д) x³ – 125;

е) y³ + 8;

ж) ab + 8a + 9b + 72;

з) 6m – 12 – 2n + mn.

a) $8x^4-16x^{3}y=8x^3(x-2y)$

б) $15x{y}^5+10y^2=5y^2(3x{y}^3+2)$

в) $8a^2-50y^2=2(4a^2-25y^2)=2(2a-5y)(2a+5y)$

г) $18b^2-98a^2=2(9b^2-49a^2)=2(3b-7a)(3b+7a)$

д) $x^3-125=(x-5)(x^2+5x+25)$

е) $y^3+8=(y+2)(y^2-2y+4)$

ж) $$\begin{gathered} ab+8a+9b+72=(ab+8a)+(9b+72)= \\ =a(b+8)+9(b+8)=(a+9)(b+8) \end{gathered}$$

з) $$\begin{gathered} 6m-12-2n+mn=(6m+mn)-(12+2n)= \\ =m(6+n)-2(6+n)=(m-2)(6+n) \end{gathered}$$

а) Для разложения на множители выражения $8x^4 - 16x^3y$ найдем и вынесем за скобки общий множитель. Общий числовой множитель для 8 и 16 это 8. Общий множитель для переменных $x^4$ и $x^3$ это $x^3$. Таким образом, общий множитель всего выражения равен $8x^3$. Выносим его за скобки: $8x^4 - 16x^3y = 8x^3(x) - 8x^3(2y) = 8x^3(x - 2y)$.
Ответ: $8x^3(x - 2y)$.

б) В выражении $15xy^5 + 10y^2$ найдем общий множитель. Общий числовой множитель для 15 и 10 это 5. Общий множитель для переменных $y^5$ и $y^2$ это $y^2$. Таким образом, общий множитель всего выражения равен $5y^2$. Выносим его за скобки: $15xy^5 + 10y^2 = 5y^2(3xy^3) + 5y^2(2) = 5y^2(3xy^3 + 2)$.
Ответ: $5y^2(3xy^3 + 2)$.

в) В выражении $8a^2 - 50y^2$ сначала вынесем за скобки общий числовой множитель 2: $2(4a^2 - 25y^2)$. Выражение в скобках $4a^2 - 25y^2$ представляет собой разность квадратов, так как $4a^2 = (2a)^2$ и $25y^2 = (5y)^2$. Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = 2a$ и $B = 5y$. Получаем: $2((2a)^2 - (5y)^2) = 2(2a - 5y)(2a + 5y)$.
Ответ: $2(2a - 5y)(2a + 5y)$.

г) В выражении $18b^2 - 98a^2$ вынесем за скобки общий числовой множитель 2: $2(9b^2 - 49a^2)$. Выражение в скобках $9b^2 - 49a^2$ является разностью квадратов, так как $9b^2 = (3b)^2$ и $49a^2 = (7a)^2$. Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = 3b$ и $B = 7a$. Получаем: $2((3b)^2 - (7a)^2) = 2(3b - 7a)(3b + 7a)$.
Ответ: $2(3b - 7a)(3b + 7a)$.

д) Выражение $x^3 - 125$ представляет собой разность кубов, так как $125 = 5^3$. Применим формулу разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A = x$ и $B = 5$. Получаем: $x^3 - 5^3 = (x - 5)(x^2 + x \cdot 5 + 5^2) = (x - 5)(x^2 + 5x + 25)$.
Ответ: $(x - 5)(x^2 + 5x + 25)$.

е) Выражение $y^3 + 8$ представляет собой сумму кубов, так как $8 = 2^3$. Применим формулу суммы кубов $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$, где $A = y$ и $B = 2$. Получаем: $y^3 + 2^3 = (y + 2)(y^2 - y \cdot 2 + 2^2) = (y + 2)(y^2 - 2y + 4)$.
Ответ: $(y + 2)(y^2 - 2y + 4)$.

ж) Для разложения на множители выражения $ab + 8a + 9b + 72$ применим метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два: $(ab + 8a) + (9b + 72)$. В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a$, а во второй — общий множитель 9: $a(b + 8) + 9(b + 8)$. Теперь мы видим общий множитель $(b + 8)$, который тоже можно вынести за скобки: $(a + 9)(b + 8)$.
Ответ: $(a + 9)(b + 8)$.

з) Для разложения на множители выражения $6m - 12 - 2n + mn$ применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым: $(6m - 12) + (-2n + mn)$. Из первой группы вынесем 6, из второй — $n$: $6(m - 2) + n(-2 + m)$. Так как $(-2 + m) = (m - 2)$, мы можем вынести общий множитель $(m - 2)$ за скобки: $(m - 2)(6 + n)$.
Ответ: $(m - 2)(n + 6)$.

74. Укажите допустимые значения переменной в выражении:

a) 3a2a + 25;

б) 2y9 + y²;

в) 5x3x(x + 12);

г) 7a(a + 1)(a - 4).

a) $\frac{3a}{2a+25}$

$$\begin{gathered} 2a+25\ne 0 \\ 2a\ne -25 \\ a\ne -\frac{25}{2} \\ a\ne -12,5 \end{gathered}$$

Все числа, кроме a=-12,5

б) $\frac{2y}{9+y^2}$

$$\begin{gathered} y^2+9\ne 0 \\ {y}^2\ne -9 \end{gathered}$$

Все числа

в) $\frac{5x}{3x(x+12)}$

$$\begin{gathered} x(x+12)\ne 0 \\ \left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x+12\ne 0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne -12\end{array}\right. \end{gathered}$$

Все числа, кроме -12 и 0

г) $\frac{7a}{(a+1)(a-4)}$

$$\begin{gathered} (a+1)(a-4)\ne 0 \\ \left\{\begin{array}{l}a+1\ne 0\\ a-4\ne 0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}a\ne -1\\ a\ne 4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Все числа, кроме -1 и 4

а) Допустимые значения переменной в выражении — это все значения, при которых выражение имеет смысл. Для алгебраической дроби это означает, что ее знаменатель не должен быть равен нулю. В данном выражении $\frac{3a}{2a + 25}$ знаменатель равен $2a + 25$. Найдем значение переменной $a$, при котором знаменатель обращается в ноль, и исключим его.
$2a + 25 = 0$
$2a = -25$
$a = -\frac{25}{2}$
$a = -12.5$
Таким образом, допустимыми значениями для переменной $a$ являются все числа, кроме $-12.5$.
Ответ: все числа, кроме $a = -12.5$.

б) В выражении $\frac{2y}{9 + y^2}$ знаменатель равен $9 + y^2$. Найдем значения переменной $y$, при которых знаменатель обращается в ноль.
$9 + y^2 = 0$
$y^2 = -9$
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа ($y^2$) всегда неотрицателен ($y^2 \ge 0$), а значит, сумма $9 + y^2$ всегда будет положительной ($9 + y^2 \ge 9$). Следовательно, знаменатель никогда не обращается в ноль.
Таким образом, допустимыми значениями для переменной $y$ являются все действительные числа.
Ответ: все числа.

в) В выражении $\frac{5x}{3x(x + 12)}$ знаменатель равен $3x(x + 12)$. Найдем значения переменной $x$, при которых знаменатель обращается в ноль. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$3x = 0$ или $x + 12 = 0$
Из первого уравнения получаем $x = 0$.
Из второго уравнения получаем $x = -12$.
Следовательно, знаменатель обращается в ноль при $x = 0$ и $x = -12$. Эти значения необходимо исключить.
Таким образом, допустимыми значениями для переменной $x$ являются все числа, кроме $0$ и $-12$.
Ответ: все числа, кроме $x = 0$ и $x = -12$.

г) В выражении $\frac{7a}{(a + 1)(a - 4)}$ знаменатель равен $(a + 1)(a - 4)$. Найдем значения переменной $a$, при которых знаменатель обращается в ноль. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$a + 1 = 0$ или $a - 4 = 0$
Из первого уравнения получаем $a = -1$.
Из второго уравнения получаем $a = 4$.
Следовательно, знаменатель обращается в ноль при $a = -1$ и $a = 4$. Эти значения необходимо исключить.
Таким образом, допустимыми значениями для переменной $a$ являются все числа, кроме $-1$ и $4$.
Ответ: все числа, кроме $a = -1$ и $a = 4$.