Номер 87, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 87, страница 26.

87. Преобразуйте в дробь выражение:

a) 3x5(x + y) - 2y3(x + y);

б) a²5(a - b) - b²4(a - b);

в) 3ax - ay + 2by - bx;

г) 13cbm - bn - 12bcn - cm.

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{3x}{5(x+y)}-\frac{2y}{3(x+y)}=\frac{9x}{15(x+y)}-\frac{10y}{15(x+y)}= \\ =\frac{9x-10y}{15(x+y)}=\frac{9x-10y}{15x+15y} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{a^2}{5(a-b)}-\frac{b^2}{4(a-b)}=\frac{4a^2}{20(a-b)}- \\ -\frac{5b^2}{20(a-b)}=\frac{4a^2-5b^2}{20a-20b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{3}{ax-ay}+\frac{2}{by-bx}=\frac{3}{a(x-y)}+\frac{2}{b(y-x)}= \\ =\frac{3}{a(x-y)}-\frac{2}{b(x-y)}=\frac{3b-2a}{ab(x-y)}=\frac{3b-2a}{abx-aby} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{13c}{bm-bn}-\frac{12b}{cn-cm}=\frac{13c}{b(m-n)}-\frac{12b}{c(n-m)}= \\ =\frac{13c^2}{bc(m-n)}+\frac{12b^2}{bc(m-n)}=\frac{13c^2+12b^2}{bcm-bcn} \end{gathered}$$

а) Чтобы преобразовать выражение $ \frac{3x}{5(x+y)} - \frac{2y}{3(x+y)} $ в дробь, нужно привести дроби к общему знаменателю.
Знаменатели дробей: $ 5(x+y) $ и $ 3(x+y) $.
Общий множитель у знаменателей — это $ (x+y) $. Коэффициенты при скобках — 5 и 3. Наименьшее общее кратное чисел 5 и 3 равно 15.
Следовательно, общий знаменатель для этих дробей будет $ 15(x+y) $.
Найдем дополнительные множители для каждой дроби:
Для первой дроби ($ \frac{3x}{5(x+y)} $): $ \frac{15(x+y)}{5(x+y)} = 3 $.
Для второй дроби ($ \frac{2y}{3(x+y)} $): $ \frac{15(x+y)}{3(x+y)} = 5 $.
Теперь умножим числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель и выполним вычитание:
$ \frac{3x \cdot 3}{15(x+y)} - \frac{2y \cdot 5}{15(x+y)} = \frac{9x}{15(x+y)} - \frac{10y}{15(x+y)} = \frac{9x - 10y}{15(x+y)} $.
Ответ: $ \frac{9x - 10y}{15(x+y)} $

б) Чтобы преобразовать выражение $ \frac{a^2}{5(a-b)} - \frac{b^2}{4(a-b)} $ в дробь, приведем дроби к общему знаменателю.
Знаменатели дробей: $ 5(a-b) $ и $ 4(a-b) $.
Общий множитель $ (a-b) $. Коэффициенты 5 и 4. Наименьшее общее кратное чисел 5 и 4 равно 20.
Общий знаменатель: $ 20(a-b) $.
Дополнительный множитель для первой дроби: $ \frac{20(a-b)}{5(a-b)} = 4 $.
Дополнительный множитель для второй дроби: $ \frac{20(a-b)}{4(a-b)} = 5 $.
Умножим числители на их дополнительные множители и найдем разность:
$ \frac{a^2 \cdot 4}{20(a-b)} - \frac{b^2 \cdot 5}{20(a-b)} = \frac{4a^2 - 5b^2}{20(a-b)} $.
Ответ: $ \frac{4a^2 - 5b^2}{20(a-b)} $

в) Чтобы преобразовать выражение $ \frac{3}{ax-ay} + \frac{2}{by-bx} $ в дробь, сначала упростим знаменатели.
Вынесем общие множители за скобки в каждом знаменателе:
$ ax - ay = a(x-y) $
$ by - bx = b(y-x) = -b(x-y) $
Теперь подставим эти выражения обратно в исходное:
$ \frac{3}{a(x-y)} + \frac{2}{-b(x-y)} = \frac{3}{a(x-y)} - \frac{2}{b(x-y)} $
Общий знаменатель для дробей $ \frac{3}{a(x-y)} $ и $ \frac{2}{b(x-y)} $ будет $ ab(x-y) $.
Дополнительный множитель для первой дроби — $ b $, для второй — $ a $.
Приведем к общему знаменателю и выполним вычитание:
$ \frac{3 \cdot b}{ab(x-y)} - \frac{2 \cdot a}{ab(x-y)} = \frac{3b - 2a}{ab(x-y)} $.
Ответ: $ \frac{3b - 2a}{ab(x-y)} $

г) Чтобы преобразовать выражение $ \frac{13c}{bm-bn} - \frac{12b}{cn-cm} $ в дробь, упростим знаменатели.
Вынесем общие множители за скобки:
$ bm - bn = b(m-n) $
$ cn - cm = c(n-m) = -c(m-n) $
Подставим преобразованные знаменатели в выражение:
$ \frac{13c}{b(m-n)} - \frac{12b}{-c(m-n)} = \frac{13c}{b(m-n)} + \frac{12b}{c(m-n)} $
Знак минус перед второй дробью поменялся на плюс, так как мы вынесли знак минус из знаменателя.
Общий знаменатель дробей: $ bc(m-n) $.
Дополнительный множитель для первой дроби — $ c $, для второй — $ b $.
Выполним сложение:
$ \frac{13c \cdot c}{bc(m-n)} + \frac{12b \cdot b}{bc(m-n)} = \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)} $.
Ответ: $ \frac{13c^2 + 12b^2}{bc(m-n)} $