Номер 200, страница 52 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Функция у = k/x и её график. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 200, страница 52.

200. Упростите выражение

$$\begin{gathered} \left(\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x-2}-\frac{12}{4-x^2}\right):\frac{x+7}{x-2}= \\ =\left(\frac{3}{x+2}-\frac{1}{x-2}+\frac{12}{x^2-4}\right):\frac{x+7}{x-2}= \\ =\frac{3(x-2)-(x+2)+12}{(x+2)(x+2)}·\frac{x-2}{x+7}= \\ =\frac{3x-6-x-2+12}{(x+2)(x+7)}= \\ =\frac{2x+4}{(x+2)(x+7)}=\frac{2(x+2)}{(x+2)(x+7)}=\frac{2}{x+7} \end{gathered}$$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку. Сначала преобразуем выражение в скобках, а затем выполним деление.

Упрощение выражения в скобках

Рассмотрим выражение $ \left(\frac{3}{x+2} - \frac{1}{x-2} - \frac{12}{4-x^2}\right) $. Для приведения дробей к общему знаменателю преобразуем знаменатель третьей дроби. Используя формулу разности квадратов, получаем $ 4-x^2 = (2-x)(2+x) $. Для удобства вынесем минус за скобки: $ 4-x^2 = -(x-2)(x+2) $.

Теперь перепишем выражение в скобках:

$ \frac{3}{x+2} - \frac{1}{x-2} - \frac{12}{-(x-2)(x+2)} = \frac{3}{x+2} - \frac{1}{x-2} + \frac{12}{(x-2)(x+2)} $

Общий знаменатель для дробей — $ (x+2)(x-2) $. Приведем все дроби к этому знаменателю:

$ \frac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{1(x+2)}{(x+2)(x-2)} + \frac{12}{(x+2)(x-2)} $

Объединим дроби, выполнив действия в числителе:

$ \frac{3(x-2) - (x+2) + 12}{(x+2)(x-2)} = \frac{3x - 6 - x - 2 + 12}{(x+2)(x-2)} = \frac{2x + 4}{(x+2)(x-2)} $

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь:

$ \frac{2(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{2}{x-2} $

Выполнение деления

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$ \frac{2}{x-2} : \frac{x+7}{x-2} $

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{2}{x-2} \cdot \frac{x-2}{x+7} $

Сократим общий множитель $ (x-2) $:

$ \frac{2}{x+7} $

Ответ: $ \frac{2}{x+7} $