Номер 202, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 202, страница 55.

202. Представьте дробь 5x - 1(x + 4)(x - 2) в виде суммы двух дробей со знаменателями x + 4 и x – 2.

$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)}=\frac{a}{x+4}+\frac{b}{x-2}$

$$\begin{gathered} \frac{a}{x+4}+\frac{b}{x-2}=\frac{a(x-2)+b(x+4)}{(x+4)(x-2)}= \\ =\frac{ax-2a+bx+4b}{(x+4)(x-2)}= \\ =\frac{(ax+bx)+(-2a+4b)}{(x+4)(x-2)}= \\ =\frac{(a+b)x+(-2a+4b)}{(x+4)(x-2)} \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{cc}a+b=5& /·2\\ -2a+4b=-1& \end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}2a+2b=10\\ -2a+4b=-1\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}6b=9\\ a+b=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}b=\frac{9}{6}\\ a+\frac{9}{6}=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}b=1,5\\ a+1,5=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{c}b=1,5\\ a=3,5\end{array}\right.$

$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)}=\frac{3,5}{x+4}+\frac{1,5}{x-2}$

Чтобы представить данную дробь в виде суммы двух дробей с указанными знаменателями, используется метод разложения на простейшие дроби (метод неопределенных коэффициентов). Искомое представление имеет вид:

$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)} = \frac{A}{x+4} + \frac{B}{x-2}$

где A и B — это некоторые числовые коэффициенты, которые необходимо найти.

Для нахождения этих коэффициентов, приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю (x + 4)(x - 2):

$\frac{A}{x+4} + \frac{B}{x-2} = \frac{A(x-2)}{(x+4)(x-2)} + \frac{B(x+4)}{(x+4)(x-2)} = \frac{A(x-2) + B(x+4)}{(x+4)(x-2)}$

Таким образом, мы получаем тождество:

$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)} = \frac{A(x-2) + B(x+4)}{(x+4)(x-2)}$

Поскольку знаменатели дробей в левой и правой частях равны, то должны быть равны и их числители:

$5x - 1 = A(x-2) + B(x+4)$

Это равенство верно для любого значения x. Чтобы найти коэффициенты A и B, можно подставить в это равенство значения x, которые обращают в ноль один из знаменателей исходных дробей.

1. Найдем коэффициент B, подставив в равенство x = 2. Это значение x обращает в ноль множитель (x-2) при коэффициенте A:

$5(2) - 1 = A(2-2) + B(2+4)$

$10 - 1 = A \cdot 0 + B \cdot 6$

$9 = 6B$

$B = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

2. Найдем коэффициент A, подставив в равенство x = -4. Это значение x обращает в ноль множитель (x+4) при коэффициенте B:

$5(-4) - 1 = A(-4-2) + B(-4+4)$

$-20 - 1 = A \cdot (-6) + B \cdot 0$

$-21 = -6A$

$A = \frac{-21}{-6} = \frac{7}{2}$

Теперь, подставим найденные значения A = 7/2 и B = 3/2 в исходное разложение:

$\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)} = \frac{7/2}{x+4} + \frac{3/2}{x-2}$

Полученное выражение можно записать в более удобном виде:

$\frac{7}{2(x+4)} + \frac{3}{2(x-2)}$

Ответ: $\frac{7}{2(x+4)} + \frac{3}{2(x-2)}$