Номер 209, страница 55 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Представление дроби в виде суммы дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 209, страница 55.

209. Найдите все пары натуральных чисел a и b, если известно, что сумма обратных им чисел равна 17.

$\frac{1}{a}$ - обратное число а, $\frac{1}{b}$ - обратное число b, где $a\in N,$ $b\in N.$ Зная, что $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{7},$ выразим b через a

$\frac{1}{b}=\frac{1}{7}-\frac{1}{a}; \frac{1}{b}=\frac{a-7}{7a}; b=\frac{7a}{a-7}$

$$\begin{gathered} b=\frac{7a}{a-7}=\frac{7(a-7)+49}{a-7}=\frac{7(a-7)}{a-7}+\frac{49}{a-7}= \\ =7+\frac{49}{a-7} \end{gathered}$$

Значение дроби $\frac{49}{a-7}$ является натуральным числом тогда и только тогда, когда

$$\begin{gathered} a-7=1; \\ a=8 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} a-7=7; \\ a=14 \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} a-7=49; \\ a=56 \end{gathered}$$

a=8; $b=7+\frac{49}{8-7}=7+49=56$

a=14; $b=7+\frac{49}{14-7}=7+\frac{49}{7}=7+7=14$

a=56; $b=7+\frac{49}{56-7}=7+\frac{49}{49}=7+1=8$

Ответ: a=8;b=56; a=14;b=14; a=56;b=8

Согласно условию задачи, нам нужно найти все пары натуральных чисел $a$ и $b$, для которых выполняется равенство:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{7}$

Для решения приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{b+a}{ab} = \frac{1}{7}$

Используя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получим:

$7(a+b) = ab$

Перенесем все члены в одну сторону и преобразуем уравнение для последующего разложения на множители:

$ab - 7a - 7b = 0$

Чтобы разложить левую часть на множители, прибавим к обеим частям уравнения число 49 (этот прием называется методом выделения полного квадрата или "факторизацией Саймона"):

$ab - 7a - 7b + 49 = 49$

Теперь левую часть можно сгруппировать и разложить на множители:

$a(b-7) - 7(b-7) = 49$

$(a-7)(b-7) = 49$

Поскольку $a$ и $b$ — натуральные числа, то $a \geq 1$ и $b \geq 1$. Следовательно, множители $(a-7)$ и $(b-7)$ являются целыми числами, не меньшими чем $1-7=-6$. Произведение этих двух целых чисел равно 49 (положительное число), значит, они должны быть одного знака. Рассмотрим два возможных случая.

1. Оба множителя положительны. Нам нужно найти все пары положительных целых чисел, произведение которых равно 49. Это пары (1, 49), (7, 7) и (49, 1).
- Если $a-7=1$ и $b-7=49$, то $a=8$ и $b=56$. Пара (8, 56) является решением.
- Если $a-7=7$ и $b-7=7$, то $a=14$ и $b=14$. Пара (14, 14) является решением.
- Если $a-7=49$ и $b-7=1$, то $a=56$ и $b=8$. Пара (56, 8) является решением.

2. Оба множителя отрицательны. Пары отрицательных делителей числа 49 это (–1, –49), (–7, –7) и (–49, –1).
- Если $a-7=-1$ и $b-7=-49$, то $a=6$ и $b=-42$. Так как $b$ не является натуральным числом, эта пара не является решением.
- Если $a-7=-7$ и $b-7=-7$, то $a=0$ и $b=0$. Числа 0 не являются натуральными, поэтому эта пара не является решением.
- Если $a-7=-49$ и $b-7=-1$, то $a=-42$ и $b=6$. Так как $a$ не является натуральным числом, эта пара не является решением.

Таким образом, мы нашли все возможные пары натуральных чисел, удовлетворяющие заданному условию.

Ответ: (8, 56), (14, 14), (56, 8).