Номер 214, страница 56 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 214, страница 56.

214. Найдите допустимые значения переменной в выражении:

a) $\frac{3x-8}{25}$

Ответ: все числа

б) $\frac{37}{2y+7}$

$$\begin{gathered} 2y+7\ne 0 \\ 2y\ne -7 \\ y\ne -3,5 \end{gathered}$$

Ответ: все числа, кроме -3,5

в) $\frac{9}{x^2-7x}$

$$\begin{gathered} x^2-7x\ne 0 \\ x(x-7)\ne 0 \\ \left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x-7\ne 0\end{array}\right.\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne 7\end{array}\right. \end{gathered}$$

Ответ: все числа, кроме 0 и 7

г) $\frac{2y+5}{y^2+8}$

$y^2+8>0$ при любых значениях y

Ответ: все числа

д) $\frac{12}{\left|x\right|-3}$

$$\begin{gathered} \left|x\right|-3\ne 0 \\ \left|x\right|\ne 3 \\ x\ne 3 \\ x\ne -3 \end{gathered}$$

Ответ: все числа, кроме -3 и 3

e) $\frac{45}{\left|y\right|+2}$
$\left|y\right|+2\ne 0$
$\left|y\right|\ne -2$ при любых y

Ответ: все числа

а)

Данное выражение $\frac{3x - 8}{25}$ является дробью, знаменатель которой — число 25. Допустимые значения переменной (ОДЗ) для дроби — это все значения, при которых знаменатель не равен нулю. Так как знаменатель является константой $25$ и $25 \neq 0$, то выражение имеет смысл при любых значениях переменной $x$.

Ответ: $x$ - любое число.

б)

В выражении $\frac{37}{2y + 7}$ знаменатель дроби зависит от переменной $y$. Дробь определена, когда ее знаменатель не равен нулю. Найдем значения $y$, при которых знаменатель обращается в ноль.
$2y + 7 = 0$
$2y = -7$
$y = -\frac{7}{2}$
$y = -3.5$
Следовательно, допустимыми значениями переменной являются все действительные числа, кроме $-3.5$.

Ответ: все числа, кроме $y = -3.5$.

в)

В выражении $\frac{9}{x^2 - 7x}$ знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$.
$x^2 - 7x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x - 7) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x - 7 = 0$
$x = 0$ или $x = 7$
Таким образом, переменная $x$ не может принимать значения 0 и 7.

Ответ: все числа, кроме $x = 0$ и $x = 7$.

г)

В выражении $\frac{2y + 5}{y^2 + 8}$ найдем значения $y$, при которых знаменатель $y^2 + 8$ равен нулю.
$y^2 + 8 = 0$
$y^2 = -8$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($y^2 \ge 0$). Следовательно, уравнение $y^2 = -8$ не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель $y^2 + 8$ никогда не равен нулю. Фактически, так как $y^2 \ge 0$, то $y^2 + 8 \ge 8$.
Поэтому выражение определено для любых значений $y$.

Ответ: $y$ - любое число.

д)

В выражении $\frac{12}{|x| - 3}$ знаменатель $|x| - 3$ не должен быть равен нулю.
$|x| - 3 \neq 0$
$|x| \neq 3$
Модуль числа равен 3, если само число равно 3 или -3.
$x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Следовательно, допустимыми являются все значения $x$, кроме 3 и -3.

Ответ: все числа, кроме $x = 3$ и $x = -3$.

е)

В выражении $\frac{45}{|y| + 2}$ знаменатель $|y| + 2$ не должен быть равен нулю.
$|y| + 2 \neq 0$
Модуль любого действительного числа $|y|$ является неотрицательной величиной, то есть $|y| \ge 0$.
Следовательно, сумма $|y| + 2$ всегда будет больше или равна 2: $|y| + 2 \ge 0 + 2 = 2$.
Поскольку знаменатель всегда положителен и никогда не равен нулю, выражение определено для любых значений переменной $y$.

Ответ: $y$ - любое число.