Номер 221, страница 57 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 1. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 221, страница 57.

221. Докажите, что если в дроби x² - 2y²3y² + 5xy переменные х и y заменить соответственно на kx и ky, где k ≠ 0, то получится дробь, тождественно равная первоначальной.

$\frac{x^2-2y^2}{3y^2+5xy}$

$$\begin{gathered} \frac{{\left(kx\right)}^2-2{\left(ky\right)}^2}{3{\left(ky\right)}^2+5kxky}=\frac{k^2{x}^2-2·k^2{y}^2}{3k^2{y}^2+5k^{2}xy}= \\ =\frac{k^2(x^2-2y^2)}{k^2(3y^2+5xy)}=\frac{x^2-2y^2}{3y^2+5xy} \end{gathered}$$

Для доказательства данного утверждения необходимо подставить в исходную дробь $ \frac{x^2 - 2y^2}{3y^2 + 5xy} $ вместо переменных x и y выражения kx и ky соответственно.

Выполним подстановку:

$ \frac{(kx)^2 - 2(ky)^2}{3(ky)^2 + 5(kx)(ky)} $

Упростим полученное выражение. Возведем в степень произведения в числителе и знаменателе:

$ \frac{k^2x^2 - 2k^2y^2}{3k^2y^2 + 5k^2xy} $

Теперь вынесем общий множитель $k^2$ за скобки в числителе и в знаменателе дроби:

$ \frac{k^2(x^2 - 2y^2)}{k^2(3y^2 + 5xy)} $

Согласно условию, $k \neq 0$, а значит и $k^2 \neq 0$. Поэтому мы можем сократить дробь на $k^2$:

$ \frac{\cancel{k^2}(x^2 - 2y^2)}{\cancel{k^2}(3y^2 + 5xy)} = \frac{x^2 - 2y^2}{3y^2 + 5xy} $

В результате преобразований мы получили дробь, которая тождественно равна первоначальной. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: После замены переменных x на kx и y на ky и последующего упрощения получается дробь $ \frac{x^2 - 2y^2}{3y^2 + 5xy} $, которая тождественно равна первоначальной, что и требовалось доказать.