Номер 232, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 232, страница 58.

232. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{mn+1}{m+n}+\frac{mn-1}{m-n}= \\ =\frac{(mn+1)(m-n)+(mn-1)(m+n)}{(m+n)(m-n)}= \\ =\frac{m^{2}n-m{n}^2+m-n+m^{2}n+m{n}^2-m-n}{(m+n)(m-n)}= \\ =\frac{2m^{2}n-2n}{(m+n)(m-n)}=\frac{2m^{2}n-2n}{m^2-n^2} \end{gathered}$$

б) $\frac{x+4a}{3a+3x}-\frac{a-4x}{3a-3x}=\frac{x+4a}{3(a+x)}-\frac{a-4x}{3(a-x)}=$

$$\begin{gathered} =\frac{(x+4a)(a-x)-(a-4x)(a+x)}{3(a+x)(a-x)}= \\ =\frac{ax-x^2+4a^2-4ax}{3(a+x)(a-x)}-\frac{a^2+ax-4ax-4x^2}{3(a+x)(a-x)}= \\ =\frac{ax-x^2+4a^2-4ax-a^2-ax+4ax+4x^2}{3(a+x)(a-x)}= \\ =\frac{3a^2+3x^2}{3(a+x)(a-x)}=\frac{3(a^2+x^2)}{3(a^2-x^2)}=\frac{a^2+x^2}{a^2-x^2} \end{gathered}$$

а) Чтобы сложить две дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{mn+1}{m+n}$ и $\frac{mn-1}{m-n}$ равен произведению их знаменателей: $(m+n)(m-n) = m^2-n^2$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(m-n)$, а второй дроби — на $(m+n)$:

$\frac{mn+1}{m+n} + \frac{mn-1}{m-n} = \frac{(mn+1)(m-n)}{(m+n)(m-n)} + \frac{(mn-1)(m+n)}{(m-n)(m+n)}$

Теперь сложим числители, оставив общий знаменатель без изменений:

$\frac{(mn+1)(m-n) + (mn-1)(m+n)}{m^2-n^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$(mn+1)(m-n) = mn \cdot m - mn \cdot n + 1 \cdot m - 1 \cdot n = m^2n - mn^2 + m - n$

$(mn-1)(m+n) = mn \cdot m + mn \cdot n - 1 \cdot m - 1 \cdot n = m^2n + mn^2 - m - n$

Сложим полученные выражения:

$(m^2n - mn^2 + m - n) + (m^2n + mn^2 - m - n) = m^2n + m^2n - mn^2 + mn^2 + m - m - n - n = 2m^2n - 2n$

Подставим полученный числитель обратно в дробь. Также можно вынести общий множитель $2n$ в числителе:

$\frac{2m^2n - 2n}{m^2-n^2} = \frac{2n(m^2-1)}{m^2-n^2}$

Ответ: $\frac{2m^2n-2n}{m^2-n^2}$

б) Сначала упростим знаменатели, вынеся общий множитель 3:

$\frac{x+4a}{3a+3x} - \frac{a-4x}{3a-3x} = \frac{x+4a}{3(a+x)} - \frac{a-4x}{3(a-x)}$

Общий знаменатель для этих дробей равен $3(a+x)(a-x) = 3(a^2-x^2)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a-x)$, а второй дроби — на $(a+x)$:

$\frac{(x+4a)(a-x)}{3(a+x)(a-x)} - \frac{(a-4x)(a+x)}{3(a-x)(a+x)}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{(x+4a)(a-x) - (a-4x)(a+x)}{3(a^2-x^2)}$

Раскроем скобки в числителе:

$(x+4a)(a-x) = xa - x^2 + 4a^2 - 4ax = 4a^2 - 3ax - x^2$

$(a-4x)(a+x) = a^2 + ax - 4ax - 4x^2 = a^2 - 3ax - 4x^2$

Вычтем второе выражение из первого, обращая внимание на знаки:

$(4a^2 - 3ax - x^2) - (a^2 - 3ax - 4x^2) = 4a^2 - 3ax - x^2 - a^2 + 3ax + 4x^2 = (4a^2-a^2) + (-3ax+3ax) + (-x^2+4x^2) = 3a^2 + 3x^2$

Подставим полученный числитель обратно в дробь:

$\frac{3a^2 + 3x^2}{3(a^2-x^2)}$

Вынесем общий множитель 3 в числителе и сократим дробь:

$\frac{3(a^2 + x^2)}{3(a^2 - x^2)} = \frac{a^2+x^2}{a^2-x^2}$

Ответ: $\frac{a^2+x^2}{a^2-x^2}$