Номер 239, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 239, страница 59.

239. При каком значении а тождественно равны выражения:

a) $\frac{2x}{x+3}=2+\frac{a}{x+3}$

$$\begin{gathered} 2+\frac{a}{x+3}=\frac{2(x+3)+a}{x+3}=\frac{2x+6+a}{x+3}=\frac{2x}{x+3} \\ 2x+6+a=2x \\ 6+a=0 \\ a=-6 \end{gathered}$$

Ответ: при a=-6

б) $\frac{x}{x-5}=1+\frac{a}{x-5}$

$$\begin{gathered} 1+\frac{a}{x-5}=\frac{x-5+a}{x-5}=\frac{x}{x-5} \\ x-5+a=x; -5+a=0; a=5 \end{gathered}$$

Ответ: при a=5

в) $\frac{2x}{3-x}=\frac{a}{3-x}-2$

$$\begin{gathered} \frac{a}{3-x}-2=\frac{a-2(3-x)}{3-x}=\frac{a-6+2x}{3-x}=\frac{2x}{3-x} \\ a-6+2x=2x \\ a-6=0; a=6 \end{gathered}$$

Ответ: при a=6

г) $\frac{x+2}{5-x}=\frac{a}{5-x}-1$

$$\begin{gathered} \frac{a}{5-x}-1=\frac{a-(5-x)}{5-x}=\frac{a-5+x}{5-x}=\frac{x+2}{5-x} \\ a-5+x=x+2 \\ a-5=2; a=7 \end{gathered}$$

Ответ: при a=7

а) Два выражения тождественно равны, если они равны при всех допустимых значениях переменной. Приравняем данные выражения: $ \frac{2x}{x+3} = 2 + \frac{a}{x+3} $ Чтобы сравнить выражения, приведем правую часть к общему знаменателю $x+3$: $ 2 + \frac{a}{x+3} = \frac{2(x+3)}{x+3} + \frac{a}{x+3} = \frac{2x+6+a}{x+3} $ Теперь наше тождество выглядит так: $ \frac{2x}{x+3} = \frac{2x+6+a}{x+3} $ Дроби с одинаковыми знаменателями равны, если равны их числители. Приравняем числители: $ 2x = 2x+6+a $ Вычтем $2x$ из обеих частей уравнения: $ 0 = 6+a $ $ a = -6 $
Ответ: $a = -6$.

б) Приравняем выражения: $ \frac{x}{x-5} = 1 + \frac{a}{x-5} $ Приведем правую часть к общему знаменателю $x-5$: $ 1 + \frac{a}{x-5} = \frac{1(x-5)}{x-5} + \frac{a}{x-5} = \frac{x-5+a}{x-5} $ Получаем тождество: $ \frac{x}{x-5} = \frac{x-5+a}{x-5} $ Приравниваем числители: $ x = x-5+a $ Вычтем $x$ из обеих частей: $ 0 = -5+a $ $ a = 5 $
Ответ: $a = 5$.

в) Приравняем данные выражения: $ \frac{2x}{3-x} = \frac{a}{3-x} - 2 $ Приведем правую часть к общему знаменателю $3-x$: $ \frac{a}{3-x} - 2 = \frac{a}{3-x} - \frac{2(3-x)}{3-x} = \frac{a - (6-2x)}{3-x} = \frac{a-6+2x}{3-x} $ Теперь тождество имеет вид: $ \frac{2x}{3-x} = \frac{2x+a-6}{3-x} $ Приравняем числители: $ 2x = 2x+a-6 $ Вычтем $2x$ из обеих частей: $ 0 = a-6 $ $ a = 6 $
Ответ: $a = 6$.

г) Приравняем выражения: $ \frac{x+2}{5-x} = \frac{a}{5-x} - 1 $ Приведем правую часть к общему знаменателю $5-x$: $ \frac{a}{5-x} - 1 = \frac{a}{5-x} - \frac{1(5-x)}{5-x} = \frac{a - (5-x)}{5-x} = \frac{a-5+x}{5-x} $ Получаем тождество: $ \frac{x+2}{5-x} = \frac{x+a-5}{5-x} $ Приравниваем числители: $ x+2 = x+a-5 $ Вычтем $x$ из обеих частей: $ 2 = a-5 $ $ a = 2+5 $ $ a = 7 $
Ответ: $a = 7$.