Номер 240, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 240, страница 59.

240. Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{5x}{x+2}=\frac{5(x+2)-10}{x+2}=\frac{5(x+2)}{x+2}-\frac{10}{x+2}= \\ =5-\frac{10}{x+2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{-2x}{x-1}=-\frac{2(x-1)+2}{x-1}=-\left(\frac{2(x-1)}{x-1}+\frac{2}{x-1}\right)= \\ =-\left(2+\frac{2}{x-1}\right)=-2-\frac{2}{x-1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{2x}{5-x}=\frac{-2(5-x)+10}{5-x}=\frac{-2(5-x)}{5-x}+\frac{10}{5-x}= \\ =-2+\frac{10}{5-x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{x-3}{2-x}=\frac{-(2-x)-1}{2-x}=\frac{-(2-x)}{2-x}-\frac{1}{2-x}= \\ =-1-\frac{1}{2-x} \end{gathered}$$

а)

Чтобы представить дробь $\frac{5x}{x+2}$ в виде суммы или разности, выделим в числителе слагаемое, которое делится на знаменатель. Для этого мы искусственно создадим в числителе выражение $x+2$.

Добавим и вычтем в числителе 10. Это позволит нам вынести 5 за скобки:

$5x = 5x + 10 - 10 = 5(x+2) - 10$

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь и разделим ее на две части:

$\frac{5x}{x+2} = \frac{5(x+2) - 10}{x+2} = \frac{5(x+2)}{x+2} - \frac{10}{x+2}$

После сокращения первой дроби получаем итоговое выражение:

$5 - \frac{10}{x+2}$

Ответ: $5 - \frac{10}{x+2}$

б)

Представим дробь $\frac{-2x}{x-1}$. Аналогично предыдущему пункту, преобразуем числитель так, чтобы выделить выражение $x-1$. Для этого добавим и вычтем 2.

$-2x = -2x + 2 - 2 = -2(x-1) - 2$

Подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{-2x}{x-1} = \frac{-2(x-1) - 2}{x-1}$

Разделим дробь на разность двух дробей:

$\frac{-2(x-1)}{x-1} - \frac{2}{x-1} = -2 - \frac{2}{x-1}$

Ответ: $-2 - \frac{2}{x-1}$

в)

Рассмотрим дробь $\frac{2x}{5-x}$. Нам нужно выделить в числителе выражение, кратное знаменателю $5-x$. Чтобы из $2x$ получить выражение с $5-x$, умножим $5-x$ на $-2$.

$-2(5-x) = -10 + 2x$

Отсюда можно выразить $2x$: $2x = -2(5-x) + 10$.

Подставим это в числитель дроби:

$\frac{2x}{5-x} = \frac{-2(5-x) + 10}{5-x}$

Теперь разделим на сумму двух дробей:

$\frac{-2(5-x)}{5-x} + \frac{10}{5-x} = -2 + \frac{10}{5-x}$

Ответ: $-2 + \frac{10}{5-x}$

г)

Рассмотрим дробь $\frac{x-3}{2-x}$. Выделим в числителе выражение, кратное знаменателю $2-x$. Для этого представим числитель $x-3$ в удобном виде. Заметим, что $-1 \cdot (2-x) = x-2$.

Представим числитель $x-3$ как $(x-2) - 1$.

$x-3 = (x-2) - 1 = -1(2-x) - 1$

Подставим это выражение в дробь:

$\frac{x-3}{2-x} = \frac{-1(2-x) - 1}{2-x}$

Разделим на две дроби:

$\frac{-1(2-x)}{2-x} - \frac{1}{2-x} = -1 - \frac{1}{2-x}$

Ответ: $-1 - \frac{1}{2-x}$