Номер 236, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 236, страница 59.

236. Докажите, что тождественно равны выражения

$\frac{ax+by}{(a-b)(x+y)}-\frac{bx-ay}{(a+b)(x+y)}=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$

$$\begin{gathered} \frac{ax+by}{(a-b)(x+y)}-\frac{bx-ay}{(a+b)(x+y)}= \\ =\frac{(ax+by)(a+b)-(bx-ay)(a-b)}{(a-b)(a+b)(x+y)}= \\ =\frac{a^{2}x+abx+aby=b^{2}y-(abx-b^{2}x-a^{2}y+aby)}{(a-b)(a+b)(x+y)}= \\ =\frac{a^{2}x+\bcancel{\bcancel{abx}}+\bcancel{aby}+b^{2}y-\bcancel{ab}x+b^{2}x+a^{2}y-\bcancel{aby}}{(a-b)(a+b)(x+y)}= \\ =\frac{(a^{2}x+a^{2}y)+(b^{2}x+b^{2}y)}{(a-b)(a+b)(x+y)}=\frac{a^2(x+y)+b^2(x+y)}{(a-b)(a+b)(x+y)}= \\ =\frac{(a^2+b^2)(x+y)}{(a-b)(a+b)(x+y)}=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \end{gathered}$$

Чтобы доказать, что данные выражения тождественно равны, необходимо упростить первое выражение. Для этого выполним вычитание дробей.

$\frac{ax + by}{(a - b)(x + y)} - \frac{bx - ay}{(a + b)(x + y)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a - b)(a + b)(x + y)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $(a + b)$, для второй — $(a - b)$.

$\frac{(ax + by)(a + b)}{(a - b)(a + b)(x + y)} - \frac{(bx - ay)(a - b)}{(a - b)(a + b)(x + y)} = \frac{(ax + by)(a + b) - (bx - ay)(a - b)}{(a - b)(a + b)(x + y)}$

Раскроем скобки в числителе полученной дроби.

$(ax + by)(a + b) = a^2x + abx + aby + b^2y$

$(bx - ay)(a - b) = abx - b^2x - a^2y + aby$

Подставим полученные выражения в числитель и упростим его:

$(a^2x + abx + aby + b^2y) - (abx - b^2x - a^2y + aby) = a^2x + abx + aby + b^2y - abx + b^2x + a^2y - aby$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(abx - abx) + (aby - aby) + (a^2x + b^2x) + (a^2y + b^2y) = a^2x + b^2x + a^2y + b^2y$

Вынесем общие множители за скобки:

$x(a^2 + b^2) + y(a^2 + b^2) = (a^2 + b^2)(x + y)$

Теперь вернемся к дроби. В знаменателе применим формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

$\frac{(a^2 + b^2)(x + y)}{(a^2 - b^2)(x + y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x + y)$, при условии, что он не равен нулю, как и знаменатели исходных дробей.

$\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$

В результате преобразования первого выражения мы получили второе. Следовательно, данные выражения тождественно равны.

Ответ: Тождество доказано, так как после упрощения первого выражения получается второе: $\frac{ax + by}{(a - b)(x + y)} - \frac{bx - ay}{(a + b)(x + y)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$.