Страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

235. Упростите выражение:

a) $\frac{5}{y-3}+\frac{1}{y+3}-\frac{4y-18}{y^2-9}=$

$$\begin{gathered} =\frac{5(y+3)+(y-3)-(4y-18)}{(y-3)(y+3)}= \\ =\frac{5y+15+y-3-4y+18}{(y-3)(y+3)}=\frac{2y+30}{y^2-9} \end{gathered}$$

б) $\frac{2a}{2a+3}+\frac{5}{3-2a}-\frac{4a^2+9}{4a^2-9}=\frac{2a}{2a+3}-\frac{5}{2a-3}-$

$$\begin{gathered} -\frac{4a^2+9}{4a^2-9}=\frac{2a(2a-3)-5(2a+3)-(4a^2+9)}{(2a+3)(2a-3)}= \\ =\frac{4a^2-6a-10a-15-4a^2-9}{(2a+3)(2a-3)}=\frac{-16a-24}{(2a+3)(2a-3)}= \\ =\frac{-8(2a+3)}{(2a+3)(2a-3)}=\frac{-8}{2a-3}=\frac{8}{3-2a} \end{gathered}$$

в) $\frac{4m}{4m^2-1}-\frac{2m+1}{6m-3}+\frac{2m-1}{4m+2}=\frac{4m}{(2m-1)(2m+1)}-$

$$\begin{gathered} -\frac{2m+1}{3(2m-1)}+\frac{2m-1}{2(2m+1)}= \\ =\frac{4m·6-2{(2m+1)}^2+3{(2m-1)}^2}{6(2m-1)(2m+1)}= \\ =\frac{24m-2(4m^2+4m+1)+3(4m^2-4m+1)}{6(2m-1)(2m+1)}= \\ =\frac{24m-8m^2-8m-2+12m^2-12m+3}{6(2m-1)(2m+1)}= \\ =\frac{4m^2+4m+1}{6(2m-1)(2m+1)}=\frac{{(2m+1)}^2}{6(2m-1)(2m+1)}= \\ =\frac{2m+1}{12m-6} \end{gathered}$$

г) $\frac{1}{{(x+y)}^2}-\frac{2}{x^2-y^2}+\frac{1}{{(x-y)}^2}=\frac{1}{{(x+y)}^2}-$

$$\begin{gathered} -\frac{2}{(x-y)(x+y)}+\frac{1}{{(x-y)}^2}= \\ =\frac{{(x-y)}^2-2(x-y)(x+y)+{(x+y)}^2}{{(x-y)}^2{(x+y)}^2}= \\ =\frac{\left(\right(x-y)-{(x+y))}^2}{{(x-y)}^2{(x+y)}^2}=\frac{{(x-y-x-y)}^2}{{(x-y)}^2{(x+y)}^2}= \\ =\frac{{(-2y)}^2}{{(x-y)}^2{(x+y)}^2}=\frac{4y^2}{{(x^2-y^2)}^2} \end{gathered}$$

д) $\frac{4a^2+3a+2}{a^3-1}-\frac{1-2a}{a^2+a+1}=\frac{4a^2+3a+2}{(a-1)(a^2+a+1)}-$

$$\begin{gathered} -\frac{(1-2a)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)}= \\ =\frac{4a^2+3a+2-(a-1-2a^2+2a)}{(a-1)(a^2+a+1)}= \\ =\frac{4a^2+3a+2-a+1+2a^2-2a}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac{6a^2+3}{a^3-1} \end{gathered}$$

е) $\frac{x-y}{x^2+xy+y^2}-\frac{3xy}{x^3-y^3}+\frac{1}{x-y}=\frac{x-y}{x^2+xy+y^2}-$

$$\begin{gathered} -\frac{3xy}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}+\frac{1}{x-y}= \\ =\frac{{(x-y)}^2-3xy+(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}= \\ =\frac{x^2-2xy+y^2-3xy+x^2+xy+y^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}= \\ =\frac{2x^2-4xy+2y^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}=\frac{2(x^2-2xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}= \\ =\frac{2{(x-y)}^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}=\frac{2(x-y)}{x^2+xy+y}=\frac{2x-2y}{x^2+xy+y^2} \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{5}{y-3} + \frac{1}{y+3} - \frac{4y-18}{y^2-9} $, сначала приведем все дроби к общему знаменателю.

Знаменатель третьей дроби $y^2-9$ раскладывается на множители как разность квадратов: $y^2-9 = (y-3)(y+3)$. Это и будет общий знаменатель.

Дополнительный множитель для первой дроби — $(y+3)$, для второй — $(y-3)$. Третья дробь уже имеет общий знаменатель.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия:

$ \frac{5(y+3)}{(y-3)(y+3)} + \frac{1(y-3)}{(y-3)(y+3)} - \frac{4y-18}{(y-3)(y+3)} = \frac{5(y+3) + (y-3) - (4y-18)}{(y-3)(y+3)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{5y+15+y-3-4y+18}{(y-3)(y+3)} = \frac{(5y+y-4y) + (15-3+18)}{(y-3)(y+3)} = \frac{2y+30}{y^2-9} $

Дальнейшие сокращения невозможны.

Ответ: $ \frac{2y+30}{y^2-9} $.

б) Упростим выражение $ \frac{2a}{2a+3} + \frac{5}{3-2a} - \frac{4a^2+9}{4a^2-9} $.

Преобразуем знаменатели: $3-2a = -(2a-3)$ и $4a^2-9 = (2a-3)(2a+3)$.

Выражение принимает вид:

$ \frac{2a}{2a+3} - \frac{5}{2a-3} - \frac{4a^2+9}{(2a-3)(2a+3)} $

Общий знаменатель — $(2a-3)(2a+3)$. Приведем дроби к нему:

$ \frac{2a(2a-3)}{(2a-3)(2a+3)} - \frac{5(2a+3)}{(2a-3)(2a+3)} - \frac{4a^2+9}{(2a-3)(2a+3)} $

Объединим дроби:

$ \frac{2a(2a-3) - 5(2a+3) - (4a^2+9)}{(2a-3)(2a+3)} $

Упростим числитель:

$ \frac{4a^2-6a - 10a-15 - 4a^2-9}{(2a-3)(2a+3)} = \frac{-16a-24}{(2a-3)(2a+3)} $

Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:

$ \frac{-8(2a+3)}{(2a-3)(2a+3)} = \frac{-8}{2a-3} $

Результат можно также записать в виде $ \frac{8}{3-2a} $.

Ответ: $ \frac{8}{3-2a} $.

в) Упростим выражение $ \frac{4m}{4m^2-1} - \frac{2m+1}{6m-3} + \frac{2m-1}{4m+2} $.

Разложим знаменатели на множители: $4m^2-1 = (2m-1)(2m+1)$, $6m-3 = 3(2m-1)$, $4m+2 = 2(2m+1)$.

Общий знаменатель: $6(2m-1)(2m+1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{4m \cdot 6}{6(2m-1)(2m+1)} - \frac{(2m+1) \cdot 2(2m+1)}{6(2m-1)(2m+1)} + \frac{(2m-1) \cdot 3(2m-1)}{6(2m-1)(2m+1)} $

Объединим в одну дробь:

$ \frac{24m - 2(2m+1)^2 + 3(2m-1)^2}{6(2m-1)(2m+1)} $

Раскроем квадраты и упростим числитель:

$ \frac{24m - 2(4m^2+4m+1) + 3(4m^2-4m+1)}{6(4m^2-1)} = \frac{24m - 8m^2-8m-2 + 12m^2-12m+3}{6(4m^2-1)} $

$ \frac{4m^2+4m+1}{6(4m^2-1)} $

Числитель является полным квадратом: $4m^2+4m+1 = (2m+1)^2$. Сократим дробь:

$ \frac{(2m+1)^2}{6(2m-1)(2m+1)} = \frac{2m+1}{6(2m-1)} $

Ответ: $ \frac{2m+1}{6(2m-1)} $.

г) Упростим выражение $ \frac{1}{(x+y)^2} - \frac{2}{x^2-y^2} + \frac{1}{(x-y)^2} $.

Разложим средний знаменатель: $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$. Общий знаменатель для всех дробей — $(x+y)^2(x-y)^2 = (x^2-y^2)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{1 \cdot (x-y)^2}{(x+y)^2(x-y)^2} - \frac{2 \cdot (x-y)(x+y)}{(x+y)^2(x-y)^2} + \frac{1 \cdot (x+y)^2}{(x+y)^2(x-y)^2} $

Объединим числители в один:

$ \frac{(x-y)^2 - 2(x^2-y^2) + (x+y)^2}{(x^2-y^2)^2} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{(x^2 - 2xy + y^2) - (2x^2 - 2y^2) + (x^2 + 2xy + y^2)}{(x^2-y^2)^2} = \frac{x^2 - 2xy + y^2 - 2x^2 + 2y^2 + x^2 + 2xy + y^2}{(x^2-y^2)^2} $

Сгруппируем подобные члены: $ (x^2 - 2x^2 + x^2) + (-2xy + 2xy) + (y^2 + 2y^2 + y^2) = 0 + 0 + 4y^2 = 4y^2 $.

Таким образом, выражение упрощается до:

$ \frac{4y^2}{(x^2-y^2)^2} $

Ответ: $ \frac{4y^2}{(x^2-y^2)^2} $.

д) Упростим выражение $ \frac{4a^2+3a+2}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} $.

Знаменатель первой дроби — это разность кубов: $a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$. Это и будет общий знаменатель.

Приведем вторую дробь к общему знаменателю:

$ \frac{4a^2+3a+2}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{(1-2a)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)} $

Выполним вычитание в числителе:

$ \frac{(4a^2+3a+2) - (1-2a)(a-1)}{a^3-1} $

Раскроем скобки в числителе:

$ (1-2a)(a-1) = a-1-2a^2+2a = -2a^2+3a-1 $

$ \frac{4a^2+3a+2 - (-2a^2+3a-1)}{a^3-1} = \frac{4a^2+3a+2+2a^2-3a+1}{a^3-1} $

Приведем подобные слагаемые:

$ \frac{6a^2+3}{a^3-1} $

Ответ: $ \frac{6a^2+3}{a^3-1} $.

е) Упростим выражение $ \frac{x-y}{x^2+xy+y^2} - \frac{3xy}{x^3-y^3} + \frac{1}{x-y} $.

Разложим знаменатель средней дроби по формуле разности кубов: $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$. Это будет общий знаменатель.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{(x-y)(x-y)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} - \frac{3xy}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} + \frac{1(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} $

Объединим дроби:

$ \frac{(x-y)^2 - 3xy + (x^2+xy+y^2)}{x^3-y^3} $

Раскроем скобки и упростим числитель:

$ \frac{(x^2-2xy+y^2) - 3xy + x^2+xy+y^2}{x^3-y^3} = \frac{2x^2 - 4xy + 2y^2}{x^3-y^3} $

Вынесем общий множитель 2 в числителе: $2(x^2-2xy+y^2) = 2(x-y)^2$.

Получим дробь:

$ \frac{2(x-y)^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} $

Сократим на общий множитель $(x-y)$:

$ \frac{2(x-y)}{x^2+xy+y^2} $

Ответ: $ \frac{2(x-y)}{x^2+xy+y^2} $.

236. Докажите, что тождественно равны выражения

$\frac{ax+by}{(a-b)(x+y)}-\frac{bx-ay}{(a+b)(x+y)}=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$

$$\begin{gathered} \frac{ax+by}{(a-b)(x+y)}-\frac{bx-ay}{(a+b)(x+y)}= \\ =\frac{(ax+by)(a+b)-(bx-ay)(a-b)}{(a-b)(a+b)(x+y)}= \\ =\frac{a^{2}x+abx+aby=b^{2}y-(abx-b^{2}x-a^{2}y+aby)}{(a-b)(a+b)(x+y)}= \\ =\frac{a^{2}x+\bcancel{\bcancel{abx}}+\bcancel{aby}+b^{2}y-\bcancel{ab}x+b^{2}x+a^{2}y-\bcancel{aby}}{(a-b)(a+b)(x+y)}= \\ =\frac{(a^{2}x+a^{2}y)+(b^{2}x+b^{2}y)}{(a-b)(a+b)(x+y)}=\frac{a^2(x+y)+b^2(x+y)}{(a-b)(a+b)(x+y)}= \\ =\frac{(a^2+b^2)(x+y)}{(a-b)(a+b)(x+y)}=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \end{gathered}$$

Чтобы доказать, что данные выражения тождественно равны, необходимо упростить первое выражение. Для этого выполним вычитание дробей.

$\frac{ax + by}{(a - b)(x + y)} - \frac{bx - ay}{(a + b)(x + y)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a - b)(a + b)(x + y)$. Дополнительный множитель для первой дроби — $(a + b)$, для второй — $(a - b)$.

$\frac{(ax + by)(a + b)}{(a - b)(a + b)(x + y)} - \frac{(bx - ay)(a - b)}{(a - b)(a + b)(x + y)} = \frac{(ax + by)(a + b) - (bx - ay)(a - b)}{(a - b)(a + b)(x + y)}$

Раскроем скобки в числителе полученной дроби.

$(ax + by)(a + b) = a^2x + abx + aby + b^2y$

$(bx - ay)(a - b) = abx - b^2x - a^2y + aby$

Подставим полученные выражения в числитель и упростим его:

$(a^2x + abx + aby + b^2y) - (abx - b^2x - a^2y + aby) = a^2x + abx + aby + b^2y - abx + b^2x + a^2y - aby$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(abx - abx) + (aby - aby) + (a^2x + b^2x) + (a^2y + b^2y) = a^2x + b^2x + a^2y + b^2y$

Вынесем общие множители за скобки:

$x(a^2 + b^2) + y(a^2 + b^2) = (a^2 + b^2)(x + y)$

Теперь вернемся к дроби. В знаменателе применим формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

$\frac{(a^2 + b^2)(x + y)}{(a^2 - b^2)(x + y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(x + y)$, при условии, что он не равен нулю, как и знаменатели исходных дробей.

$\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$

В результате преобразования первого выражения мы получили второе. Следовательно, данные выражения тождественно равны.

Ответ: Тождество доказано, так как после упрощения первого выражения получается второе: $\frac{ax + by}{(a - b)(x + y)} - \frac{bx - ay}{(a + b)(x + y)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$.

237. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{1}{a(a-b)(a-c)}+\frac{1}{b(b-c)(b-a)}+ \\ +\frac{1}{c(c-a)(c-b)}=\frac{1}{abc} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 1) \frac{1}{a(a-b)(a-c)}+\frac{1}{b(b-c)(b-a)}= \\ =\frac{1}{a(a-b)(a-c)}-\frac{1}{b(b-c)(a-c)}= \\ =\frac{1}{a}·\frac{1}{a-b}·\frac{1}{a-c}-\frac{1}{b}·\frac{1}{b-c}·\frac{1}{a-b}= \\ =\frac{1}{a-b}\left(\frac{1}{a}·\frac{1}{a-c}-\frac{1}{b}·\frac{1}{b-c}\right)= \\ =\frac{1}{a-b}·\frac{b(b-c)-a(a-c)}{ab(a-c)(b-c)}= \\ =\frac{1}{a-b}·\frac{b^2-bc-a^2+ac}{ab(a-c)(b-c)}= \\ =\frac{1}{a-b}·\frac{(b^2-a^2)-(bc-ac)}{ab(a-c)(b-c)}= \\ =\frac{1}{a-b}·\frac{(b-a)(b+a)-c(b-a)}{ab(a-c)(b-c)}= \\ =\frac{1}{a-b}·\frac{(b-a)(a+b-c)}{ab(a-c)(b-c)}= \\ =-\frac{1}{a-b}·\frac{(a-b)(a+b-c)}{ab(a-c)(b-c)}= \\ =-\frac{a+b-c}{ab(a-c)(b-c)}=\frac{c-a-b}{ab(a-c)(b-c)} \\ 2) \frac{c-a-b}{ab(a-c)(b-c)}+\frac{1}{c(c-a)(c-b)}= \\ =\frac{c-a-b}{ab(a-c)(b-c)}+\frac{1}{c(a-c)(b-c)}= \\ =\frac{(c-a-b)c+ab}{abc(a-c)(b-c)}=\frac{c^2-ac-bc+ab}{abc(a-c)(b-c)}= \\ =\frac{(c^2-ac)-(bc-ab)}{abc(a-c)(b-c)}=\frac{c(c-a)-b(c-a)}{abc(a-c)(b-c)}= \\ =\frac{(c-a)(c-b)}{abc(c-a)(c-b)}=\frac{1}{abc} \end{gathered}$$

б) $\frac{x^2}{(x-y)(x-z)}+\frac{y^2}{(y-x)(y-z)}+\frac{z^2}{(z-x)(z-y)}=1$

$$\begin{gathered} 1) \frac{x^2}{(x-y)(x-z)}+\frac{y^2}{(y-x)(y-z)}= \\ =\frac{x^2}{(x-y)(x-z)}-\frac{y^2}{(x-y)(y-z)}= \\ =\frac{1}{x-y}\left(\frac{x^2}{x-z}-\frac{y^2}{y-z}\right)= \\ =\frac{1}{x-y}·\frac{x^2(y-z)-y^2(x-z)}{(x-z)(y-z)}= \\ =\frac{1}{x-y}·\frac{x^{2}y-x^{2}z-y^{2}x+y^{2}z}{(x-z)(y-z)}= \\ =\frac{1}{x-y}·\frac{(x^{2}y-y^{2}x)-(x^{2}z-y^{2}z)}{(x-z)(y-z)}= \\ =\frac{1}{x-y}·\frac{xy(x-y)-z(x^2-y^2)}{(x-z)(y-z)}= \\ =\frac{1}{x-y}·\frac{xy(x-y)-z(x-y)(x+y)}{(x-z)(y-z)}= \\ =\frac{1}{x-y}·\frac{(x-y)(xy-z(x+y\left)\right)}{(x-z)(y-z)}=\frac{xy-zx-zy}{(x-z)(y-z)} \\ 2) \frac{xy-zx-zy}{(x-z)(y-z)}+\frac{z^2}{(z-x)(z-y)}= \\ =\frac{xy-zx-zy+z^2}{(x-z)(y-z)}=\frac{(xy-zx)-(zy-z^2)}{(x-z)(y-z)}= \\ =\frac{x(y-z)-z(y-z)}{(x-z)(y-z)}=\frac{(y-z)(x-z)}{(x-z)(y-z)}=1 \end{gathered}$$

а) $ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-c)(b-a)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)} $

Для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, преобразуем знаменатели второй и третьей дробей, чтобы множители в них были одинаковыми. Используем свойства $b-a = -(a-b)$, $c-a = -(a-c)$ и $c-b = -(b-c)$.

$ \frac{1}{b(b-c)(b-a)} = \frac{1}{b(b-c)(-(a-b))} = -\frac{1}{b(a-b)(b-c)} $

$ \frac{1}{c(c-a)(c-b)} = \frac{1}{c(-(a-c))(-(b-c))} = \frac{1}{c(a-c)(b-c)} $

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{1}{a(a-b)(a-c)} - \frac{1}{b(a-b)(b-c)} + \frac{1}{c(a-c)(b-c)} $

Общий знаменатель для этих дробей равен $abc(a-b)(a-c)(b-c)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{bc(b-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{ac(a-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} + \frac{ab(a-b)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} $

Сложим числители:

$ \frac{bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} $

Теперь упростим числитель, раскрыв скобки:

$ bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b) = b^2c - bc^2 - a^2c + ac^2 + a^2b - ab^2 $

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $a$:

$ (a^2b - a^2c) - (ab^2 - ac^2) + (b^2c - bc^2) = a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c) $

Вынесем общий множитель $(b-c)$, используя формулу разности квадратов $b^2-c^2=(b-c)(b+c)$:

$ a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c) = (b-c)(a^2 - a(b+c) + bc) $

Раскроем скобки внутри второго множителя и сгруппируем:

$ (b-c)(a^2 - ab - ac + bc) = (b-c)(a(a-b) - c(a-b)) = (b-c)(a-b)(a-c) $

Подставим полученный числитель обратно в дробь:

$ \frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} $

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq b, b \neq c, c \neq a$):

$ \frac{1}{abc} $

Ответ: $ \frac{1}{abc} $

б) $ \frac{x^2}{(x-y)(x-z)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} + \frac{z^2}{(z-x)(z-y)} $

Преобразуем знаменатели второй и третьей дробей, чтобы привести их к общему виду. Используем свойства $y-x = -(x-y)$, $z-x = -(x-z)$ и $z-y = -(y-z)$.

$ \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} = \frac{y^2}{-(x-y)(y-z)} = -\frac{y^2}{(x-y)(y-z)} $

$ \frac{z^2}{(z-x)(z-y)} = \frac{z^2}{(-(x-z))(-(y-z))} = \frac{z^2}{(x-z)(y-z)} $

Выражение принимает вид:

$ \frac{x^2}{(x-y)(x-z)} - \frac{y^2}{(x-y)(y-z)} + \frac{z^2}{(x-z)(y-z)} $

Общий знаменатель равен $(x-y)(x-z)(y-z)$. Приводим дроби к общему знаменателю:

$ \frac{x^2(y-z)}{(x-y)(x-z)(y-z)} - \frac{y^2(x-z)}{(x-y)(y-z)(x-z)} + \frac{z^2(x-y)}{(x-z)(y-z)(x-y)} $

Запишем все под одной чертой дроби:

$ \frac{x^2(y-z) - y^2(x-z) + z^2(x-y)}{(x-y)(x-z)(y-z)} $

Упростим числитель. Раскроем скобки:

$ x^2y - x^2z - xy^2 + y^2z + xz^2 - yz^2 $

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $x$:

$ x^2(y-z) - x(y^2-z^2) + (y^2z-yz^2) = x^2(y-z) - x(y-z)(y+z) + yz(y-z) $

Вынесем общий множитель $(y-z)$:

$ (y-z)(x^2 - x(y+z) + yz) $

Раскроем скобки во втором множителе и сгруппируем:

$ (y-z)(x^2 - xy - xz + yz) = (y-z)(x(x-y) - z(x-y)) = (y-z)(x-y)(x-z) $

Числитель оказался равен $(x-y)(y-z)(x-z)$. Подставим его обратно в дробь:

$ \frac{(x-y)(y-z)(x-z)}{(x-y)(x-z)(y-z)} $

Сокращаем дробь (при условии, что $x \neq y, y \neq z, z \neq x$):

$ 1 $

Ответ: $ 1 $

238. Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби:

a) $$\begin{gathered} \frac{x^2-3x+6}{x-3}=\frac{x(x-3)+6}{x-3}=\frac{x(x-3)}{x-3}+\frac{6}{x-3}= \\ =x+\frac{6}{x-3} \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} \frac{y^2+5y-8}{y+5}=\frac{y(y+5)-8}{y+5}=\frac{y(y+5)}{y+5}-\frac{8}{y+5}= \\ =y-\frac{8}{y+5} \end{gathered}$$

в) $$\begin{gathered} \frac{a^2+7a+2}{a+6}=\frac{(a+6)(a+1)-4}{a+6}=\frac{(a+6)(a+1)}{a+6}- \\ -\frac{4}{a+6}=a+1-\frac{4}{a+6} \end{gathered}$$

г) $$\begin{gathered} \frac{3b^2-10b-1}{b-3}=\frac{(3b-1)(b-3)-4}{b-3}= \\ =\frac{(3b-1)(b-3)}{b-3}-\frac{4}{b-3}=3b-1-\frac{4}{b-3} \end{gathered}$$

а) Чтобы представить дробь $\frac{x^2 - 3x + 6}{x - 3}$ в виде суммы целого выражения и дроби, выделим в числителе выражение, которое делится на знаменатель без остатка. Для этого сгруппируем первые два слагаемых в числителе и вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$\frac{x^2 - 3x + 6}{x - 3} = \frac{(x^2 - 3x) + 6}{x - 3} = \frac{x(x - 3) + 6}{x - 3}$

Теперь разделим полученное выражение почленно на знаменатель, представив исходную дробь в виде суммы двух дробей:

$\frac{x(x - 3)}{x - 3} + \frac{6}{x - 3} = x + \frac{6}{x - 3}$

Ответ: $x + \frac{6}{x - 3}$

б) Чтобы представить дробь $\frac{y^2 + 5y - 8}{y + 5}$ в виде разности целого выражения и дроби, сгруппируем первые два слагаемых в числителе и вынесем за скобки общий множитель $y$:

$\frac{y^2 + 5y - 8}{y + 5} = \frac{(y^2 + 5y) - 8}{y + 5} = \frac{y(y + 5) - 8}{y + 5}$

Разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{y(y + 5)}{y + 5} - \frac{8}{y + 5} = y - \frac{8}{y + 5}$

Ответ: $y - \frac{8}{y + 5}$

в) Представим дробь $\frac{a^2 + 7a + 2}{a + 6}$. Чтобы выделить в числителе множитель $(a + 6)$, преобразуем числитель. Представим $7a$ в виде суммы $6a + a$:

$\frac{a^2 + 7a + 2}{a + 6} = \frac{a^2 + 6a + a + 2}{a + 6} = \frac{(a^2 + 6a) + (a + 2)}{a + 6} = \frac{a(a + 6) + (a + 2)}{a + 6}$

Теперь в выражении $(a+2)$ также выделим слагаемое $(a+6)$, для чего прибавим и вычтем 4:

$\frac{a(a + 6) + (a + 6 - 4)}{a + 6} = \frac{a(a + 6) + (a + 6) - 4}{a + 6}$

Разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{a(a + 6)}{a + 6} + \frac{a + 6}{a + 6} - \frac{4}{a + 6} = a + 1 - \frac{4}{a + 6}$

Ответ: $a + 1 - \frac{4}{a + 6}$

г) Представим дробь $\frac{3b^2 - 10b - 1}{b - 3}$. Выделим в числителе множитель $(b - 3)$. Для этого преобразуем числитель. Представим $-10b$ в виде разности $-9b - b$:

$\frac{3b^2 - 10b - 1}{b - 3} = \frac{3b^2 - 9b - b - 1}{b - 3} = \frac{(3b^2 - 9b) - (b + 1)}{b - 3} = \frac{3b(b - 3) - (b + 1)}{b - 3}$

Теперь в выражении $-(b+1)$ выделим слагаемое $(b-3)$. Для этого представим $b+1$ как $b-3+4$:

$\frac{3b(b - 3) - (b - 3 + 4)}{b - 3} = \frac{3b(b - 3) - (b - 3) - 4}{b - 3}$

Разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{3b(b - 3)}{b - 3} - \frac{b - 3}{b - 3} - \frac{4}{b - 3} = 3b - 1 - \frac{4}{b - 3}$

Ответ: $3b - 1 - \frac{4}{b - 3}$

239. При каком значении а тождественно равны выражения:

a) $\frac{2x}{x+3}=2+\frac{a}{x+3}$

$$\begin{gathered} 2+\frac{a}{x+3}=\frac{2(x+3)+a}{x+3}=\frac{2x+6+a}{x+3}=\frac{2x}{x+3} \\ 2x+6+a=2x \\ 6+a=0 \\ a=-6 \end{gathered}$$

Ответ: при a=-6

б) $\frac{x}{x-5}=1+\frac{a}{x-5}$

$$\begin{gathered} 1+\frac{a}{x-5}=\frac{x-5+a}{x-5}=\frac{x}{x-5} \\ x-5+a=x; -5+a=0; a=5 \end{gathered}$$

Ответ: при a=5

в) $\frac{2x}{3-x}=\frac{a}{3-x}-2$

$$\begin{gathered} \frac{a}{3-x}-2=\frac{a-2(3-x)}{3-x}=\frac{a-6+2x}{3-x}=\frac{2x}{3-x} \\ a-6+2x=2x \\ a-6=0; a=6 \end{gathered}$$

Ответ: при a=6

г) $\frac{x+2}{5-x}=\frac{a}{5-x}-1$

$$\begin{gathered} \frac{a}{5-x}-1=\frac{a-(5-x)}{5-x}=\frac{a-5+x}{5-x}=\frac{x+2}{5-x} \\ a-5+x=x+2 \\ a-5=2; a=7 \end{gathered}$$

Ответ: при a=7

а) Два выражения тождественно равны, если они равны при всех допустимых значениях переменной. Приравняем данные выражения: $ \frac{2x}{x+3} = 2 + \frac{a}{x+3} $ Чтобы сравнить выражения, приведем правую часть к общему знаменателю $x+3$: $ 2 + \frac{a}{x+3} = \frac{2(x+3)}{x+3} + \frac{a}{x+3} = \frac{2x+6+a}{x+3} $ Теперь наше тождество выглядит так: $ \frac{2x}{x+3} = \frac{2x+6+a}{x+3} $ Дроби с одинаковыми знаменателями равны, если равны их числители. Приравняем числители: $ 2x = 2x+6+a $ Вычтем $2x$ из обеих частей уравнения: $ 0 = 6+a $ $ a = -6 $
Ответ: $a = -6$.

б) Приравняем выражения: $ \frac{x}{x-5} = 1 + \frac{a}{x-5} $ Приведем правую часть к общему знаменателю $x-5$: $ 1 + \frac{a}{x-5} = \frac{1(x-5)}{x-5} + \frac{a}{x-5} = \frac{x-5+a}{x-5} $ Получаем тождество: $ \frac{x}{x-5} = \frac{x-5+a}{x-5} $ Приравниваем числители: $ x = x-5+a $ Вычтем $x$ из обеих частей: $ 0 = -5+a $ $ a = 5 $
Ответ: $a = 5$.

в) Приравняем данные выражения: $ \frac{2x}{3-x} = \frac{a}{3-x} - 2 $ Приведем правую часть к общему знаменателю $3-x$: $ \frac{a}{3-x} - 2 = \frac{a}{3-x} - \frac{2(3-x)}{3-x} = \frac{a - (6-2x)}{3-x} = \frac{a-6+2x}{3-x} $ Теперь тождество имеет вид: $ \frac{2x}{3-x} = \frac{2x+a-6}{3-x} $ Приравняем числители: $ 2x = 2x+a-6 $ Вычтем $2x$ из обеих частей: $ 0 = a-6 $ $ a = 6 $
Ответ: $a = 6$.

г) Приравняем выражения: $ \frac{x+2}{5-x} = \frac{a}{5-x} - 1 $ Приведем правую часть к общему знаменателю $5-x$: $ \frac{a}{5-x} - 1 = \frac{a}{5-x} - \frac{1(5-x)}{5-x} = \frac{a - (5-x)}{5-x} = \frac{a-5+x}{5-x} $ Получаем тождество: $ \frac{x+2}{5-x} = \frac{x+a-5}{5-x} $ Приравниваем числители: $ x+2 = x+a-5 $ Вычтем $x$ из обеих частей: $ 2 = a-5 $ $ a = 2+5 $ $ a = 7 $
Ответ: $a = 7$.

240. Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{5x}{x+2}=\frac{5(x+2)-10}{x+2}=\frac{5(x+2)}{x+2}-\frac{10}{x+2}= \\ =5-\frac{10}{x+2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{б) }}\frac{-2x}{x-1}=-\frac{2(x-1)+2}{x-1}=-\left(\frac{2(x-1)}{x-1}+\frac{2}{x-1}\right)= \\ =-\left(2+\frac{2}{x-1}\right)=-2-\frac{2}{x-1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{в) }}\frac{2x}{5-x}=\frac{-2(5-x)+10}{5-x}=\frac{-2(5-x)}{5-x}+\frac{10}{5-x}= \\ =-2+\frac{10}{5-x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{г) }}\frac{x-3}{2-x}=\frac{-(2-x)-1}{2-x}=\frac{-(2-x)}{2-x}-\frac{1}{2-x}= \\ =-1-\frac{1}{2-x} \end{gathered}$$

а)

Чтобы представить дробь $\frac{5x}{x+2}$ в виде суммы или разности, выделим в числителе слагаемое, которое делится на знаменатель. Для этого мы искусственно создадим в числителе выражение $x+2$.

Добавим и вычтем в числителе 10. Это позволит нам вынести 5 за скобки:

$5x = 5x + 10 - 10 = 5(x+2) - 10$

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь и разделим ее на две части:

$\frac{5x}{x+2} = \frac{5(x+2) - 10}{x+2} = \frac{5(x+2)}{x+2} - \frac{10}{x+2}$

После сокращения первой дроби получаем итоговое выражение:

$5 - \frac{10}{x+2}$

Ответ: $5 - \frac{10}{x+2}$

б)

Представим дробь $\frac{-2x}{x-1}$. Аналогично предыдущему пункту, преобразуем числитель так, чтобы выделить выражение $x-1$. Для этого добавим и вычтем 2.

$-2x = -2x + 2 - 2 = -2(x-1) - 2$

Подставим это выражение в исходную дробь:

$\frac{-2x}{x-1} = \frac{-2(x-1) - 2}{x-1}$

Разделим дробь на разность двух дробей:

$\frac{-2(x-1)}{x-1} - \frac{2}{x-1} = -2 - \frac{2}{x-1}$

Ответ: $-2 - \frac{2}{x-1}$

в)

Рассмотрим дробь $\frac{2x}{5-x}$. Нам нужно выделить в числителе выражение, кратное знаменателю $5-x$. Чтобы из $2x$ получить выражение с $5-x$, умножим $5-x$ на $-2$.

$-2(5-x) = -10 + 2x$

Отсюда можно выразить $2x$: $2x = -2(5-x) + 10$.

Подставим это в числитель дроби:

$\frac{2x}{5-x} = \frac{-2(5-x) + 10}{5-x}$

Теперь разделим на сумму двух дробей:

$\frac{-2(5-x)}{5-x} + \frac{10}{5-x} = -2 + \frac{10}{5-x}$

Ответ: $-2 + \frac{10}{5-x}$

г)

Рассмотрим дробь $\frac{x-3}{2-x}$. Выделим в числителе выражение, кратное знаменателю $2-x$. Для этого представим числитель $x-3$ в удобном виде. Заметим, что $-1 \cdot (2-x) = x-2$.

Представим числитель $x-3$ как $(x-2) - 1$.

$x-3 = (x-2) - 1 = -1(2-x) - 1$

Подставим это выражение в дробь:

$\frac{x-3}{2-x} = \frac{-1(2-x) - 1}{2-x}$

Разделим на две дроби:

$\frac{-1(2-x)}{2-x} - \frac{1}{2-x} = -1 - \frac{1}{2-x}$

Ответ: $-1 - \frac{1}{2-x}$

241. При каких целых n значение дроби является целым числом:

a) $\frac{5n^2+2n+3}{n}=\frac{5n^2}{n}+\frac{2n}{n}+\frac{3}{n}=5n+2+\frac{3}{n}$

Значение 5n+2 при любом целом n является целым числом. Значение дроби $\frac{3}{n}$ является целым числом при $n=\pm 1; \pm 3$

Ответ: при $n=\pm 1; \pm 3$

б) $\frac{{(n-3)}^2}{n}=\frac{n^2-6n+9}{n}=\frac{n^2}{n}-\frac{6n}{n}+\frac{9}{n}=n-6+\frac{9}{n}$

Значение n-6 при любом целом n является целым числом. Значение дроби $\frac{9}{n}$ является целым числом при $n=\pm 1; \pm 3; \pm 9$

Ответ: при $n=\pm 1; \pm 3; \pm 9$

в) $\frac{3n}{n+2}=\frac{3(n+2)-6}{n+2}=\frac{3(n+2)}{n+2}-\frac{6}{n+2}=3-\frac{6}{n+2}$

Значение дроби $\frac{6}{n+2}$ является целым числом тогда и только тогда, когда

$$\begin{gathered} n+2=1; \\ n=-1; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n+2=-1; \\ n=-3; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n+2=2; \\ n=0; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n+2=-2; \\ n=-4; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n+2=3; \\ n=1; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n+2=-3; \\ n=-5; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n+2=6; \\ n=4; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n+2=-6; \\ n=-8; \end{gathered}$$

Ответ: при n=-8; -5; -4; -3; -1; 0; 1; 4

г) $\frac{7n}{n-4}=\frac{7(n-4)+28}{n-4}=\frac{7(n-4)}{n-4}+\frac{28}{n-4}=7+\frac{28}{n-4}$

Значение дроби $\frac{28}{n-4}$ является целым числом тогда и только тогда, когда

$$\begin{gathered} n-4=1; \\ n=5; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=-1; \\ n=3; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=2; \\ n=6; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=-2; \\ n=2; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=4; \\ n=8; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=-4; \\ n=0; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=7; \\ n=11; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=-7; \\ n=-3; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=14; \\ n=18; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=-14; \\ n=-10; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=28; \\ n=32; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=-28; \\ n=-24; \end{gathered}$$

Ответ: при n=-24; -10; -3; 0; 2; 3; 5; 6; 8; 11; 18; 32

а) Чтобы значение дроби $\frac{5n^2 + 2n + 3}{n}$ было целым числом, необходимо, чтобы числитель делился на знаменатель без остатка.

Преобразуем дробь, разделив каждый член числителя на знаменатель $n$:

$\frac{5n^2 + 2n + 3}{n} = \frac{5n^2}{n} + \frac{2n}{n} + \frac{3}{n} = 5n + 2 + \frac{3}{n}$

Поскольку $n$ — целое число, выражение $5n + 2$ также является целым числом. Следовательно, для того чтобы вся сумма была целой, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{3}{n}$ было целым числом.

Это возможно только в том случае, если $n$ является делителем числа 3.

Целые делители числа 3: 1, -1, 3, -3.

Ответ: $n \in \{-3, -1, 1, 3\}$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{(n-3)^2}{n}$.

Раскроем квадрат в числителе:

$\frac{(n-3)^2}{n} = \frac{n^2 - 6n + 9}{n}$

Разделим почленно числитель на знаменатель:

$\frac{n^2}{n} - \frac{6n}{n} + \frac{9}{n} = n - 6 + \frac{9}{n}$

Поскольку $n$ — целое число, выражение $n - 6$ также является целым. Чтобы вся сумма была целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{9}{n}$ была целым числом.

Это означает, что $n$ должно быть делителем числа 9.

Целые делители числа 9: 1, -1, 3, -3, 9, -9.

Ответ: $n \in \{-9, -3, -1, 1, 3, 9\}$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{3n}{n+2}$.

Чтобы выделить целую часть, представим числитель в виде $3(n+2) - 6$:

$\frac{3n}{n+2} = \frac{3n + 6 - 6}{n+2} = \frac{3(n+2) - 6}{n+2}$

Теперь разделим на два слагаемых:

$\frac{3(n+2)}{n+2} - \frac{6}{n+2} = 3 - \frac{6}{n+2}$

Выражение будет целым, если дробь $\frac{6}{n+2}$ будет целым числом. Это возможно, если знаменатель $n+2$ является делителем числа 6.

Целые делители числа 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Найдем соответствующие значения $n$:
Если $n+2 = 1$, то $n = -1$.
Если $n+2 = -1$, то $n = -3$.
Если $n+2 = 2$, то $n = 0$.
Если $n+2 = -2$, то $n = -4$.
Если $n+2 = 3$, то $n = 1$.
Если $n+2 = -3$, то $n = -5$.
Если $n+2 = 6$, то $n = 4$.
Если $n+2 = -6$, то $n = -8$.

Ответ: $n \in \{-8, -5, -4, -3, -1, 0, 1, 4\}$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{7n}{n-4}$.

Выделим целую часть, представив числитель $7n$ в виде $7(n-4) + 28$:

$\frac{7n}{n-4} = \frac{7n - 28 + 28}{n-4} = \frac{7(n-4) + 28}{n-4}$

Разделим на два слагаемых:

$\frac{7(n-4)}{n-4} + \frac{28}{n-4} = 7 + \frac{28}{n-4}$

Выражение будет целым, если дробь $\frac{28}{n-4}$ будет целым числом. Это возможно, если знаменатель $n-4$ является делителем числа 28.

Целые делители числа 28: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 14, \pm 28$. Найдем соответствующие значения $n$:
Если $n-4 = 1$, то $n = 5$.
Если $n-4 = -1$, то $n = 3$.
Если $n-4 = 2$, то $n = 6$.
Если $n-4 = -2$, то $n = 2$.
Если $n-4 = 4$, то $n = 8$.
Если $n-4 = -4$, то $n = 0$.
Если $n-4 = 7$, то $n = 11$.
Если $n-4 = -7$, то $n = -3$.
Если $n-4 = 14$, то $n = 18$.
Если $n-4 = -14$, то $n = -10$.
Если $n-4 = 28$, то $n = 32$.
Если $n-4 = -28$, то $n = -24$.

Ответ: $n \in \{-24, -10, -3, 0, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 18, 32\}$.

242. Найдите такие значения a и b, при которых выполняется тождество:

a) $\frac{5x}{(x-2)(x+3)}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+3}$

$$\begin{gathered} \frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+3}=\frac{a(x+3)+b(x-2)}{(x-2)(x+3)}= \\ =\frac{ax+3a+bx-2b}{(x-2)(x+3)}=\frac{(ax+bx)+(3a-2b)}{(x-2)(x+3)}= \\ =\frac{(a+b)x+(3a-2b)}{(x-2)(x+3)} \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{ll}a+b=5& /·2\\ 3a-2b=0& \end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}2a+2b=10\\ 3a-2b=0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}5a=10\\ a+b=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=3\end{array}\right.$

Ответ a=2; b=3

б) $\frac{5x+31}{(x-5)(x+2)}=\frac{a}{x-5}-\frac{b}{x+2}$

$$\begin{gathered} \frac{a}{x-5}-\frac{b}{x+2}=\frac{a(x+2)-b(x-5)}{(x-5)(x+2)}= \\ =\frac{ax+2a-bx+5b}{(x-5)(x+2)}=\frac{(ax-bx)+(2a+5b)}{(x-5)(x+2)}= \\ =\frac{(a-b)x+(2a+5b)}{(x-5)(x+2)} \end{gathered}$$

$\left\{\begin{array}{ll}a-b=5& /·5\\ 2a+5b=31& \end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}5a-5b=25\\ 2a+5b=31\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}7a=56\\ a-b=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}a=8\\ 8-b=5\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}a=8\\ b=3\end{array}\right.$

Ответ: a=8; b=3

а) Чтобы найти значения $a$ и $b$, приведём дроби в правой части тождества к общему знаменателю:

$\frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3} = \frac{a(x+3) + b(x-2)}{(x-2)(x+3)}$

Таким образом, исходное тождество принимает вид:

$\frac{5x}{(x-2)(x+3)} = \frac{a(x+3) + b(x-2)}{(x-2)(x+3)}$

Это равенство будет тождеством, если числители дробей равны для всех допустимых значений $x$ (то есть при $x \neq 2$ и $x \neq -3$). Приравняем числители:

$5x = a(x+3) + b(x-2)$

Это равенство является тождеством, то есть оно верно для любого значения $x$. Для нахождения коэффициентов $a$ и $b$ можно использовать два метода.

Метод 1: Метод неопределенных коэффициентов.

Раскроем скобки в правой части и сгруппируем слагаемые при $x$ и свободные члены:

$5x = ax + 3a + bx - 2b$

$5x + 0 = (a+b)x + (3a-2b)$

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при соответствующих степенях $x$. Приравняем коэффициенты при $x$ и свободные члены:

$\begin{cases} a+b = 5 \\ 3a-2b = 0 \end{cases}$

Решим полученную систему уравнений. Из первого уравнения выразим $a$: $a = 5 - b$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$3(5-b) - 2b = 0$

$15 - 3b - 2b = 0$

$15 - 5b = 0$

$5b = 15$

$b = 3$

Теперь найдём $a$:

$a = 5 - b = 5 - 3 = 2$

Метод 2: Метод частных значений.

Так как равенство $5x = a(x+3) + b(x-2)$ верно для любого $x$, подставим в него значения $x$, которые обращают в ноль один из множителей в правой части. Это значения $x=2$ и $x=-3$.

Пусть $x=2$:

$5 \cdot 2 = a(2+3) + b(2-2)$

$10 = a \cdot 5 + b \cdot 0$

$5a = 10 \implies a = 2$

Пусть $x=-3$:

$5 \cdot (-3) = a(-3+3) + b(-3-2)$

$-15 = a \cdot 0 + b \cdot (-5)$

$-5b = -15 \implies b = 3$

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: $a=2, b=3$.

б) Поступаем аналогично. Приводим правую часть к общему знаменателю:

$\frac{a}{x-5} - \frac{b}{x+2} = \frac{a(x+2) - b(x-5)}{(x-5)(x+2)}$

Приравниваем числители левой и правой частей исходного тождества:

$5x + 31 = a(x+2) - b(x-5)$

Воспользуемся методом частных значений, подставляя в равенство корни знаменателей $x=5$ и $x=-2$.

Пусть $x=5$:

$5 \cdot 5 + 31 = a(5+2) - b(5-5)$

$25 + 31 = a \cdot 7 - b \cdot 0$

$56 = 7a$

$a = \frac{56}{7} = 8$

Пусть $x=-2$:

$5 \cdot (-2) + 31 = a(-2+2) - b(-2-5)$

$-10 + 31 = a \cdot 0 - b(-7)$

$21 = 7b$

$b = \frac{21}{7} = 3$

Проверим результат методом неопределенных коэффициентов:

$5x + 31 = ax + 2a - bx + 5b$

$5x + 31 = (a-b)x + (2a+5b)$

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} a-b = 5 \\ 2a+5b = 31 \end{cases}$

Подставим найденные значения $a=8$ и $b=3$:

$8-3 = 5$ (Верно)

$2(8)+5(3) = 16+15 = 31$ (Верно)

Решение найдено правильно.

Ответ: $a=8, b=3$.