Номер 238, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 238, страница 59.

238. Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби:

a) $$\begin{gathered} \frac{x^2-3x+6}{x-3}=\frac{x(x-3)+6}{x-3}=\frac{x(x-3)}{x-3}+\frac{6}{x-3}= \\ =x+\frac{6}{x-3} \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} \frac{y^2+5y-8}{y+5}=\frac{y(y+5)-8}{y+5}=\frac{y(y+5)}{y+5}-\frac{8}{y+5}= \\ =y-\frac{8}{y+5} \end{gathered}$$

 

в) $$\begin{gathered} \frac{a^2+7a+2}{a+6}=\frac{(a+6)(a+1)-4}{a+6}=\frac{(a+6)(a+1)}{a+6}- \\ -\frac{4}{a+6}=a+1-\frac{4}{a+6} \end{gathered}$$

г) $$\begin{gathered} \frac{3b^2-10b-1}{b-3}=\frac{(3b-1)(b-3)-4}{b-3}= \\ =\frac{(3b-1)(b-3)}{b-3}-\frac{4}{b-3}=3b-1-\frac{4}{b-3} \end{gathered}$$

а) Чтобы представить дробь $\frac{x^2 - 3x + 6}{x - 3}$ в виде суммы целого выражения и дроби, выделим в числителе выражение, которое делится на знаменатель без остатка. Для этого сгруппируем первые два слагаемых в числителе и вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$\frac{x^2 - 3x + 6}{x - 3} = \frac{(x^2 - 3x) + 6}{x - 3} = \frac{x(x - 3) + 6}{x - 3}$

Теперь разделим полученное выражение почленно на знаменатель, представив исходную дробь в виде суммы двух дробей:

$\frac{x(x - 3)}{x - 3} + \frac{6}{x - 3} = x + \frac{6}{x - 3}$

Ответ: $x + \frac{6}{x - 3}$

б) Чтобы представить дробь $\frac{y^2 + 5y - 8}{y + 5}$ в виде разности целого выражения и дроби, сгруппируем первые два слагаемых в числителе и вынесем за скобки общий множитель $y$:

$\frac{y^2 + 5y - 8}{y + 5} = \frac{(y^2 + 5y) - 8}{y + 5} = \frac{y(y + 5) - 8}{y + 5}$

Разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{y(y + 5)}{y + 5} - \frac{8}{y + 5} = y - \frac{8}{y + 5}$

Ответ: $y - \frac{8}{y + 5}$

в) Представим дробь $\frac{a^2 + 7a + 2}{a + 6}$. Чтобы выделить в числителе множитель $(a + 6)$, преобразуем числитель. Представим $7a$ в виде суммы $6a + a$:

$\frac{a^2 + 7a + 2}{a + 6} = \frac{a^2 + 6a + a + 2}{a + 6} = \frac{(a^2 + 6a) + (a + 2)}{a + 6} = \frac{a(a + 6) + (a + 2)}{a + 6}$

Теперь в выражении $(a+2)$ также выделим слагаемое $(a+6)$, для чего прибавим и вычтем 4:

$\frac{a(a + 6) + (a + 6 - 4)}{a + 6} = \frac{a(a + 6) + (a + 6) - 4}{a + 6}$

Разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{a(a + 6)}{a + 6} + \frac{a + 6}{a + 6} - \frac{4}{a + 6} = a + 1 - \frac{4}{a + 6}$

Ответ: $a + 1 - \frac{4}{a + 6}$

г) Представим дробь $\frac{3b^2 - 10b - 1}{b - 3}$. Выделим в числителе множитель $(b - 3)$. Для этого преобразуем числитель. Представим $-10b$ в виде разности $-9b - b$:

$\frac{3b^2 - 10b - 1}{b - 3} = \frac{3b^2 - 9b - b - 1}{b - 3} = \frac{(3b^2 - 9b) - (b + 1)}{b - 3} = \frac{3b(b - 3) - (b + 1)}{b - 3}$

Теперь в выражении $-(b+1)$ выделим слагаемое $(b-3)$. Для этого представим $b+1$ как $b-3+4$:

$\frac{3b(b - 3) - (b - 3 + 4)}{b - 3} = \frac{3b(b - 3) - (b - 3) - 4}{b - 3}$

Разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{3b(b - 3)}{b - 3} - \frac{b - 3}{b - 3} - \frac{4}{b - 3} = 3b - 1 - \frac{4}{b - 3}$

Ответ: $3b - 1 - \frac{4}{b - 3}$