Номер 244, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 244, страница 60.

244. Докажите, что если m ≠ n, m ≠ 0 и n ≠ 0, то значение выражения не зависит от значений переменных.

$$\begin{gathered} \frac{2}{mn}:{\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right)}^2-\frac{m^2+n^2}{{(m-n)}^2}=\frac{2}{mn}:{\left(\frac{n-m}{mn}\right)}^2- \\ -\frac{m^2+n^2}{{(m-n)}^2}=\frac{2·{\left(mn\right)}^2}{mn·{(m-n)}^2}-\frac{m^2+n^2}{{(m-n)}^2}= \\ =\frac{2mn-(m^2+n^2)}{{(m-n)}^2}=\frac{2mn-m^2-n^2}{{(m-n)}^2}= \\ =\frac{-(m^2-2mn+n^2)}{{(m-n)}^2}=-\frac{{(m-n)}^2}{{(m-n)}^2}=-1 \end{gathered}$$

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значений переменных, нужно упростить его и показать, что результат является постоянным числом (константой).

Рассмотрим выражение: $ \frac{2}{mn} : \left(\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right)^2 - \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2} $

Упростим его по действиям, учитывая заданные ограничения $m \neq n$, $m \neq 0$ и $n \neq 0$, которые обеспечивают существование всех частей выражения.

1. Преобразуем выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{1}{m} - \frac{1}{n} = \frac{n}{mn} - \frac{m}{mn} = \frac{n-m}{mn} $$

2. Возведем полученный результат в квадрат:

$$ \left(\frac{n-m}{mn}\right)^2 = \frac{(n-m)^2}{(mn)^2} = \frac{(m-n)^2}{m^2n^2} $$

Здесь было использовано свойство $(a-b)^2 = (b-a)^2$.

3. Выполним операцию деления, заменив ее умножением на обратную дробь:

$$ \frac{2}{mn} : \frac{(m-n)^2}{m^2n^2} = \frac{2}{mn} \cdot \frac{m^2n^2}{(m-n)^2} $$

Сократив $mn$, получим:

$$ \frac{2mn}{(m-n)^2} $$

4. Подставим результат обратно в исходное выражение и выполним вычитание:

$$ \frac{2mn}{(m-n)^2} - \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2} $$

Поскольку знаменатели одинаковы, объединим дроби:

$$ \frac{2mn - (m^2 + n^2)}{(m-n)^2} = \frac{2mn - m^2 - n^2}{(m-n)^2} $$

5. Упростим числитель. Вынесем знак «минус» за скобки и применим формулу квадрата разности:

$$ 2mn - m^2 - n^2 = -(m^2 - 2mn + n^2) = -(m-n)^2 $$

6. Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$$ \frac{-(m-n)^2}{(m-n)^2} $$

Так как по условию $m \neq n$, то $m-n \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(m-n)^2$:

$$ \frac{-(m-n)^2}{(m-n)^2} = -1 $$

Результат упрощения — число -1. Это константа, которая не зависит от значений переменных $m$ и $n$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Так как значение выражения тождественно равно -1, оно не зависит от значений переменных $m$ и $n$.