Страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

243. Упростите выражение:

a) $\frac{a^2+ax+ab+bx}{a^2-ax-ab+bx}·\frac{a^2-ax-bx+ab}{a^2+ax-bx-ab}=$

$$\begin{gathered} =\frac{(a^2+ax)+(ab+bx)}{(a^2-ax)-(ab-bx)}·\frac{(a^2-ax)-(bx-ab)}{(a^2+ax)-(bx+ab)}= \\ =\frac{a(a+x)+b(a+x)}{a(a-x)-b(a-x)}·\frac{a(a-x)-b(x-a)}{a(a+x)-b(x+a)}= \\ =\frac{\bcancel{(a+x)}(a+b)}{(a-b)\bcancel{(a-x)}}·\frac{(a+b)\bcancel{(a-x)}}{\bcancel{(a+x)}(a-b)}=\frac{{(a+b)}^2}{{(a-b)}^2} \end{gathered}$$

б) $\frac{x^2-bx+ax-ab}{x^2+bx-ax-ab}:\frac{x^2+bx+ax+ab}{x^2-bx-ax+ab}=$

$$\begin{gathered} =\frac{(x^2-bx)+(ax-ab)}{(x^2+bx)-(ax+ab)}:\frac{(x^2+bx)+(ax+ab)}{(x^2-bx)-(ax-ab)}= \\ =\frac{x(x-b)+a(x-b)}{x(x+b)-a(x+b)}:\frac{x(x+b)+a(x+b)}{x(x-b)-a(x-b)}= \\ =\frac{\bcancel{(x+a)}(x-b)}{\bcancel{(x-a)}(x+b)}·\frac{\bcancel{(x-a)}(x-b)}{\bcancel{(x+a}\left)\right(x+b)}=\frac{{(x-b)}^2}{{(x+b)}^2} \end{gathered}$$

а)

Исходное выражение: $ \frac{a^2 + ax + ab + bx}{a^2 - ax - ab + bx} \cdot \frac{a^2 - ax - bx + ab}{a^2 + ax - bx - ab} $.

Для упрощения выражения разложим на множители числители и знаменатели каждой дроби, используя метод группировки.

1. Числитель первой дроби: $ a^2 + ax + ab + bx = (a^2 + ax) + (ab + bx) = a(a + x) + b(a + x) = (a + x)(a + b) $.

2. Знаменатель первой дроби: $ a^2 - ax - ab + bx = (a^2 - ax) - (ab - bx) = a(a - x) - b(a - x) = (a - x)(a - b) $.

3. Числитель второй дроби: $ a^2 - ax - bx + ab = (a^2 - ax) - (bx - ab) = a(a - x) - b(x - a) = a(a - x) + b(a - x) = (a - x)(a + b) $.

4. Знаменатель второй дроби: $ a^2 + ax - bx - ab = (a^2 + ax) - (bx + ab) = a(a + x) - b(x + a) = (a + x)(a - b) $.

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$ \frac{(a + x)(a + b)}{(a - x)(a - b)} \cdot \frac{(a - x)(a + b)}{(a + x)(a - b)} $

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{(a + x)}(a + b)}{\cancel{(a - x)}(a - b)} \cdot \frac{\cancel{(a - x)}(a + b)}{\cancel{(a + x)}(a - b)} = \frac{(a + b)(a + b)}{(a - b)(a - b)} = \frac{(a + b)^2}{(a - b)^2} $

Выражение можно также записать в виде:

$ \left(\frac{a + b}{a - b}\right)^2 $

Ответ: $ \left(\frac{a + b}{a - b}\right)^2 $.

б)

Исходное выражение: $ \frac{x^2 - bx + ax - ab}{x^2 + bx - ax - ab} : \frac{x^2 + bx + ax + ab}{x^2 - bx - ax + ab} $.

Деление дробей заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{x^2 - bx + ax - ab}{x^2 + bx - ax - ab} \cdot \frac{x^2 - bx - ax + ab}{x^2 + bx + ax + ab} $

Теперь разложим на множители числители и знаменатели, используя метод группировки.

1. Числитель первой дроби: $ x^2 - bx + ax - ab = (x^2 - bx) + (ax - ab) = x(x - b) + a(x - b) = (x - b)(x + a) $.

2. Знаменатель первой дроби: $ x^2 + bx - ax - ab = (x^2 + bx) - (ax + ab) = x(x + b) - a(x + b) = (x + b)(x - a) $.

3. Числитель второй дроби: $ x^2 - bx - ax + ab = (x^2 - bx) - (ax - ab) = x(x - b) - a(x - b) = (x - b)(x - a) $.

4. Знаменатель второй дроби: $ x^2 + bx + ax + ab = (x^2 + bx) + (ax + ab) = x(x + b) + a(x + b) = (x + b)(x + a) $.

Подставим полученные разложения в выражение:

$ \frac{(x - b)(x + a)}{(x + b)(x - a)} \cdot \frac{(x - b)(x - a)}{(x + b)(x + a)} $

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{(x - b)\cancel{(x + a)}}{(x + b)\cancel{(x - a)}} \cdot \frac{(x - b)\cancel{(x - a)}}{(x + b)\cancel{(x + a)}} = \frac{(x - b)(x - b)}{(x + b)(x + b)} = \frac{(x - b)^2}{(x + b)^2} $

Выражение можно также записать в виде:

$ \left(\frac{x - b}{x + b}\right)^2 $

Ответ: $ \left(\frac{x - b}{x + b}\right)^2 $.

244. Докажите, что если m ≠ n, m ≠ 0 и n ≠ 0, то значение выражения не зависит от значений переменных.

$$\begin{gathered} \frac{2}{mn}:{\left(\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right)}^2-\frac{m^2+n^2}{{(m-n)}^2}=\frac{2}{mn}:{\left(\frac{n-m}{mn}\right)}^2- \\ -\frac{m^2+n^2}{{(m-n)}^2}=\frac{2·{\left(mn\right)}^2}{mn·{(m-n)}^2}-\frac{m^2+n^2}{{(m-n)}^2}= \\ =\frac{2mn-(m^2+n^2)}{{(m-n)}^2}=\frac{2mn-m^2-n^2}{{(m-n)}^2}= \\ =\frac{-(m^2-2mn+n^2)}{{(m-n)}^2}=-\frac{{(m-n)}^2}{{(m-n)}^2}=-1 \end{gathered}$$

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значений переменных, нужно упростить его и показать, что результат является постоянным числом (константой).

Рассмотрим выражение: $ \frac{2}{mn} : \left(\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right)^2 - \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2} $

Упростим его по действиям, учитывая заданные ограничения $m \neq n$, $m \neq 0$ и $n \neq 0$, которые обеспечивают существование всех частей выражения.

1. Преобразуем выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

$$ \frac{1}{m} - \frac{1}{n} = \frac{n}{mn} - \frac{m}{mn} = \frac{n-m}{mn} $$

2. Возведем полученный результат в квадрат:

$$ \left(\frac{n-m}{mn}\right)^2 = \frac{(n-m)^2}{(mn)^2} = \frac{(m-n)^2}{m^2n^2} $$

Здесь было использовано свойство $(a-b)^2 = (b-a)^2$.

3. Выполним операцию деления, заменив ее умножением на обратную дробь:

$$ \frac{2}{mn} : \frac{(m-n)^2}{m^2n^2} = \frac{2}{mn} \cdot \frac{m^2n^2}{(m-n)^2} $$

Сократив $mn$, получим:

$$ \frac{2mn}{(m-n)^2} $$

4. Подставим результат обратно в исходное выражение и выполним вычитание:

$$ \frac{2mn}{(m-n)^2} - \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2} $$

Поскольку знаменатели одинаковы, объединим дроби:

$$ \frac{2mn - (m^2 + n^2)}{(m-n)^2} = \frac{2mn - m^2 - n^2}{(m-n)^2} $$

5. Упростим числитель. Вынесем знак «минус» за скобки и применим формулу квадрата разности:

$$ 2mn - m^2 - n^2 = -(m^2 - 2mn + n^2) = -(m-n)^2 $$

6. Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$$ \frac{-(m-n)^2}{(m-n)^2} $$

Так как по условию $m \neq n$, то $m-n \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(m-n)^2$:

$$ \frac{-(m-n)^2}{(m-n)^2} = -1 $$

Результат упрощения — число -1. Это константа, которая не зависит от значений переменных $m$ и $n$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Так как значение выражения тождественно равно -1, оно не зависит от значений переменных $m$ и $n$.

245. Докажите, что при любом целом а и дробном х значение выражения является чётным числом.

$$\begin{gathered} \left(a-\frac{a^2+x^2}{a+x}\right)·\left(\frac{2a}{x}+\frac{4a}{a-x}\right)= \\ =\frac{a(a+x)-(a^2+x^2)}{a+x}·\frac{2a(a-x)+4ax}{x(a-x)}= \\ =\frac{a^2+ax-a^2-x^2}{a+x}·\frac{2a^2-2ax+4ax}{x(a-x)}= \\ =\frac{ax-x^2}{a+x}·\frac{2a^2+2ax}{x(a-x)}= \\ =\frac{x(a-x)·2a(a+x)}{(a+x)·x(a-x)}=2a \end{gathered}$$

Для доказательства утверждения упростим данное выражение. Обозначим его как $E$.

$E = \left(a - \frac{a^2 + x^2}{a + x}\right) \cdot \left(\frac{2a}{x} + \frac{4a}{a - x}\right)$

Упростим поочередно каждую скобку.

Первая скобка:

Приводим к общему знаменателю $(a+x)$:

$a - \frac{a^2 + x^2}{a + x} = \frac{a(a + x) - (a^2 + x^2)}{a + x} = \frac{a^2 + ax - a^2 - x^2}{a + x} = \frac{ax - x^2}{a + x}$

Выносим $x$ за скобки в числителе:

$\frac{x(a - x)}{a + x}$

Вторая скобка:

Приводим к общему знаменателю $x(a - x)$:

$\frac{2a}{x} + \frac{4a}{a - x} = \frac{2a(a - x) + 4ax}{x(a - x)} = \frac{2a^2 - 2ax + 4ax}{x(a - x)} = \frac{2a^2 + 2ax}{x(a - x)}$

Выносим $2a$ за скобки в числителе:

$\frac{2a(a + x)}{x(a - x)}$

Произведение:

Теперь перемножим полученные упрощенные выражения:

$E = \frac{x(a - x)}{a + x} \cdot \frac{2a(a + x)}{x(a - x)}$

Прежде чем сокращать, отметим, что область определения выражения требует $a+x \neq 0$, $a-x \neq 0$ и $x \neq 0$. Поскольку по условию $a$ — целое число, а $x$ — дробное (нецелое), эти условия всегда выполняются, так как сумма/разность целого и нецелого числа не может быть равна нулю (кроме случая $a=0, x=0$, но $x$ - дробное).

Выполняем сокращение:

$E = \frac{\cancel{x}(\cancel{a - x})}{\cancel{a + x}} \cdot \frac{2a(\cancel{a + x})}{\cancel{x}(\cancel{a - x})} = 2a$

Вывод:

В результате упрощения исходное выражение равно $2a$. По условию $a$ — любое целое число. Произведение любого целого числа на 2 по определению является чётным числом. Таким образом, мы доказали, что значение выражения является чётным числом.

Ответ: Выражение упрощается до $2a$. Так как $a$ — целое число, то $2a$ всегда является чётным числом, что и требовалось доказать.

246. Докажите, что при любом значении х, большем 2, значение выражения является отрицательным числом.

$$\begin{gathered} \left(\frac{x+1}{2x}+\frac{4}{x+3}-2\right):\frac{x+1}{x+3}-\frac{x^2-5x+3}{2x}= \\ =\frac{(x+1)(x+3)+4·2x-2·2x(x+3)}{2x(x+3)}·\frac{x+3}{x+1}- \\ -\frac{x^2-5x+3}{2x}= \\ =\frac{x^2+3x+x+3+8x-4x^2-12x}{2x(x+1)}- \\ -\frac{x^2-5x+3}{2x}=\frac{-3x^2+3}{2x(x+1)}-\frac{x^2-5x+3}{2x}= \\ =\frac{-3(x-1)-(x^2-5x+3)}{2x}= \\ =\frac{-3x+3-x^2+5x-3}{2x}= \\ =\frac{-x(x-2)}{2x}=\frac{-(x-2)}{2}<0 \text{при любом }x>2 \end{gathered}$$

Для того чтобы доказать, что значение выражения является отрицательным при любом $x > 2$, необходимо сначала упростить это выражение. Будем выполнять действия по порядку.

1. Выполним действие в скобках. Общий знаменатель для выражений $\frac{x+1}{2x}$, $\frac{4}{x+3}$ и $2$ равен $2x(x+3)$.

$$ \frac{x+1}{2x} + \frac{4}{x+3} - 2 = \frac{(x+1)(x+3)}{2x(x+3)} + \frac{4 \cdot 2x}{2x(x+3)} - \frac{2 \cdot 2x(x+3)}{2x(x+3)} $$

$$ = \frac{x^2+3x+x+3 + 8x - (4x^2+12x)}{2x(x+3)} = \frac{x^2+4x+3 + 8x - 4x^2-12x}{2x(x+3)} $$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ = \frac{(x^2 - 4x^2) + (4x+8x-12x) + 3}{2x(x+3)} = \frac{-3x^2+3}{2x(x+3)} = \frac{-3(x^2-1)}{2x(x+3)} $$

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

$$ \frac{-3(x^2-1)}{2x(x+3)} : \frac{x+1}{x+3} = \frac{-3(x-1)(x+1)}{2x(x+3)} \cdot \frac{x+3}{x+1} $$

Поскольку по условию $x > 2$, то выражения $x+1$ и $x+3$ не равны нулю, и мы можем сократить дробь на эти множители.

$$ \frac{-3(x-1)\require{cancel}\cancel{(x+1)}}{2x\cancel{(x+3)}} \cdot \frac{\cancel{x+3}}{\cancel{x+1}} = \frac{-3(x-1)}{2x} $$

3. Выполним вычитание, используя результат предыдущего действия.

$$ \frac{-3(x-1)}{2x} - \frac{x^2 - 5x + 3}{2x} = \frac{-3(x-1) - (x^2 - 5x + 3)}{2x} $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ = \frac{-3x+3 - x^2 + 5x - 3}{2x} = \frac{-x^2 + 2x}{2x} $$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки в числителе и сократим дробь (так как $x>2$, то $x \neq 0$).

$$ \frac{x(-x+2)}{2x} = \frac{-x+2}{2} = \frac{2-x}{2} $$

4. Мы упростили исходное выражение до вида $\frac{2-x}{2}$. Теперь необходимо доказать, что его значение отрицательно при $x > 2$.

Рассмотрим знак числителя и знаменателя полученной дроби.

Знаменатель равен 2, это положительное число.

Числитель равен $2-x$. Так как по условию $x > 2$, мы можем вычесть $x$ из обеих частей неравенства, получив $2-x > 2-x$, что неинформативно. Вместо этого, из $x>2$ следует, что $x-2 > 0$. Тогда $2-x = -(x-2)$ является числом, противоположным положительному, а значит, отрицательным. То есть, $2-x < 0$.

Таким образом, мы делим отрицательное число (числитель $2-x$) на положительное число (знаменатель 2). Результат такого деления всегда является отрицательным числом.

Следовательно, при любом значении $x$, большем 2, значение данного выражения является отрицательным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения выражение принимает вид $\frac{2-x}{2}$. Поскольку по условию $x>2$, числитель $2-x$ является отрицательным числом, а знаменатель 2 — положительным. Значит, значение всего выражения является отрицательным числом при любом $x > 2$.

247. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}ab+\frac{ab}{a+b}\left(\frac{a+b}{a-b}-a-b\right)= \\ =ab+\frac{ab}{a+b}·\frac{a+b-(a+b)(a-b)}{a-b}= \\ =ab+\frac{ab}{a+b}·\frac{a+b-(a^2-b^2)}{a-b}= \\ =ab+\frac{ab}{a+b}·\frac{(a+b)(1-(a-b\left)\right)}{a-b}= \\ =ab+\frac{ab(1-a+b)}{a-b}= \\ =\frac{ab(a-b)+ab(1-a+b)}{a-b}= \\ =\frac{ab(a-b+1-a+b)}{a-b}=\frac{ab}{a-b} \end{gathered}$$

б) $\left(\frac{y^2-xy}{x^2+xy}-xy+y^2\right)·\frac{x}{x-y}+\frac{y}{x+y}=-xy$

$$\begin{gathered} 1) \frac{y^2-xy}{x^2+xy}-xy+y^2=\frac{y(y-x)}{x(x+y)}-(xy-y^2)= \\ =\frac{y(y-x)-(xy-y^2)x(x+y)}{x(x+y)}= \\ =\frac{y(y-x)-yx(x-y)(x+y)}{x(x+y)}= \\ =\frac{y(y-x)+xy(y-x)(x+y)}{x(x+y)}= \\ =\frac{(y-x)(y+xy(x+y\left)\right)}{x(x+y)}=\frac{(y-x)(y+x^{2}y+x{y}^2)}{x(x+y)} \\ 2) \frac{(y-x)(y+x^{2}y+x{y}^2)}{x(x+y)}·\frac{x}{x-y}= \\ =\frac{-(x-y)(y+x^{2}y+x{y}^2)}{(x+y)(x-y)}=\frac{-(y+x^{2}y+x{y}^2)}{x+y} \\ 3) \frac{-(y+x^{2}y+x{y}^2)}{x+y}+\frac{y}{x+y}= \\ =\frac{-y-x^{2}y-x{y}^2+y}{x+y}=\frac{-xy(x+y)}{x+y}=-xy \end{gathered}$$

в) $\left(\frac{1}{{(2a-b)}^2}+\frac{2}{4a^2-b^2}+\frac{1}{{(2a+b)}^2}\right)\times$

$$\begin{gathered} \times \frac{4a^2+4ab+b^2}{16a}= \\ =\left(\frac{1}{{(2a-b)}^2}+\frac{2}{(2a-b)(2a+b)}+\frac{1}{{(2a+b)}^2}\right)\times \\ \times \frac{{(2a+b)}^2}{16a}= \\ =\frac{{(2a+b)}^2+2(2a-b)(2a+b)+{(2a-b)}^2}{{(2a-b)}^2{(2a+b)}^2}\times \\ \times \frac{{(2a+b)}^2}{16a}=\frac{\left(\right(2a+b)+{(2a-b))}^2}{{(2a-b)}^2·16a}= \\ =\frac{{(2a+b+2a-b)}^2}{{(2a-b)}^2·16a}=\frac{{\left(4a\right)}^2}{{(2a-b)}^2·16a}= \\ =\frac{16a^2}{{(2a-b)}^2·16a}=\frac{a}{{(2a-b)}^2} \end{gathered}$$

г) $\frac{4c^2}{{(c-2)}^4}:\left(\frac{1}{{(c+2)}^2}+\frac{1}{{(c-2)}^2}+\frac{2}{c^2-4}\right)=$

$$\begin{gathered} =\frac{4c^2}{{(c-2)}^4}:\frac{{(c-2)}^2+{(c+2)}^2+2(c-2)(c+1)}{{(c-2)}^2{(c+2)}^2}= \\ =\frac{4c^2}{{(c-2)}^4}:\frac{\left(\right(c-2)+{(c+2))}^2}{{(c-2)}^2{(c+2)}^2}= \\ =\frac{4c^2}{{(c-2)}^4}·\frac{{(c-2)}^2+{(c+2)}^2}{(c-2+c+2)}= \\ =\frac{4c^2·{(c+2)}^2}{{(c-2)}^2·{\left(2c\right)}^2}=\frac{4c^2·{(c+2)}^2}{{(c-2)}^2·4c^2}=\frac{{(c+2)}^2}{{(c-2)}^2} \end{gathered}$$

а) Для упрощения выражения $ab + \frac{ab}{a+b} \left( \frac{a+b}{a-b} - a - b \right)$ начнем с преобразования выражения в скобках.
1. Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:
$\frac{a+b}{a-b} - a - b = \frac{a+b}{a-b} - (a+b) = (a+b) \left( \frac{1}{a-b} - 1 \right)$.
2. Упростим выражение во второй, меньшей, скобке, приведя к общему знаменателю:
$\frac{1}{a-b} - 1 = \frac{1 - (a-b)}{a-b} = \frac{1-a+b}{a-b}$.
3. Таким образом, все выражение в больших скобках равно $(a+b) \frac{1-a+b}{a-b}$.
4. Подставим это обратно в исходное выражение:
$ab + \frac{ab}{a+b} \cdot (a+b) \frac{1-a+b}{a-b}$.
5. Сократим множитель $(a+b)$:
$ab + ab \left( \frac{1-a+b}{a-b} \right)$.
6. Приведем к общему знаменателю $(a-b)$:
$\frac{ab(a-b)}{a-b} + \frac{ab(1-a+b)}{a-b} = \frac{a^2b - ab^2 + ab - a^2b + ab^2}{a-b}$.
7. Сократим подобные члены в числителе:
$\frac{(a^2b - a^2b) + (-ab^2 + ab^2) + ab}{a-b} = \frac{ab}{a-b}$.
Ответ: $\frac{ab}{a-b}$.

б) Упростим выражение $\left( \frac{y^2-xy}{x^2+xy} - xy + y^2 \right) \cdot \frac{x}{x-y} + \frac{y}{x+y}$.
1. Сначала преобразуем члены в скобках. Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби и два других члена:
$\frac{y^2-xy}{x^2+xy} = \frac{y(y-x)}{x(x+y)} = \frac{-y(x-y)}{x(x+y)}$
$-xy+y^2 = y(y-x) = -y(x-y)$
2. Выражение в скобках принимает вид:
$\frac{-y(x-y)}{x(x+y)} - y(x-y)$.
3. Вынесем общий множитель $-y(x-y)$:
$-y(x-y)\left(\frac{1}{x(x+y)} + 1\right)$.
4. Упростим выражение во второй скобке:
$\frac{1}{x(x+y)} + \frac{x(x+y)}{x(x+y)} = \frac{1+x^2+xy}{x(x+y)}$.
5. Теперь все выражение в больших скобках равно: $-y(x-y)\frac{1+x^2+xy}{x(x+y)}$.
6. Умножим полученный результат на $\frac{x}{x-y}$:
$-y(x-y)\frac{1+x^2+xy}{x(x+y)} \cdot \frac{x}{x-y}$.
7. Сократим общие множители $x$ и $(x-y)$:
$-y \frac{1+x^2+xy}{x+y} = \frac{-y-x^2y-xy^2}{x+y}$.
8. Прибавим оставшийся член $\frac{y}{x+y}$:
$\frac{-y-x^2y-xy^2}{x+y} + \frac{y}{x+y} = \frac{-y-x^2y-xy^2+y}{x+y} = \frac{-x^2y-xy^2}{x+y}$.
9. Вынесем в числителе общий множитель $-xy$:
$\frac{-xy(x+y)}{x+y}$.
10. Сократим $(x+y)$ и получим конечный результат.
Ответ: $-xy$.

в) Упростим выражение $\left( \frac{1}{(2a-b)^2} + \frac{2}{4a^2-b^2} + \frac{1}{(2a+b)^2} \right) \cdot \frac{4a^2+4ab+b^2}{16a}$.
1. Выражение в скобках является полным квадратом суммы. Заметим, что $4a^2-b^2 = (2a-b)(2a+b)$:
$\frac{1}{(2a-b)^2} + \frac{2}{(2a-b)(2a+b)} + \frac{1}{(2a+b)^2} = \left( \frac{1}{2a-b} + \frac{1}{2a+b} \right)^2$.
2. Упростим сумму дробей в скобках:
$\frac{1}{2a-b} + \frac{1}{2a+b} = \frac{(2a+b)+(2a-b)}{(2a-b)(2a+b)} = \frac{4a}{4a^2-b^2}$.
3. Возведем результат в квадрат:
$\left( \frac{4a}{4a^2-b^2} \right)^2 = \frac{16a^2}{(4a^2-b^2)^2}$.
4. Упростим второй множитель исходного выражения, заметив в числителе полный квадрат:
$\frac{4a^2+4ab+b^2}{16a} = \frac{(2a+b)^2}{16a}$.
5. Перемножим полученные выражения:
$\frac{16a^2}{(4a^2-b^2)^2} \cdot \frac{(2a+b)^2}{16a}$.
6. Подставим $(4a^2-b^2) = (2a-b)(2a+b)$ и сократим:
$\frac{16a^2}{(2a-b)^2(2a+b)^2} \cdot \frac{(2a+b)^2}{16a} = \frac{a}{(2a-b)^2}$.
Ответ: $\frac{a}{(2a-b)^2}$.

г) Упростим выражение $\frac{4c^2}{(c-2)^4} : \left( \frac{1}{(c+2)^2} + \frac{1}{(c-2)^2} + \frac{2}{c^2-4} \right)$.
1. Выражение в скобках (делитель) представляет собой полный квадрат суммы. Заметим, что $c^2-4 = (c-2)(c+2)$:
$\frac{1}{(c+2)^2} + \frac{1}{(c-2)^2} + \frac{2}{(c+2)(c-2)} = \left( \frac{1}{c+2} + \frac{1}{c-2} \right)^2$.
2. Упростим сумму дробей в скобках:
$\frac{1}{c+2} + \frac{1}{c-2} = \frac{(c-2)+(c+2)}{(c+2)(c-2)} = \frac{2c}{c^2-4}$.
3. Возведем результат в квадрат:
$\left( \frac{2c}{c^2-4} \right)^2 = \frac{4c^2}{(c^2-4)^2}$.
4. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{4c^2}{(c-2)^4} \cdot \frac{(c^2-4)^2}{4c^2}$.
5. Сократим $4c^2$:
$\frac{(c^2-4)^2}{(c-2)^4}$.
6. Подставим $c^2-4=(c-2)(c+2)$:
$\frac{((c-2)(c+2))^2}{(c-2)^4} = \frac{(c-2)^2(c+2)^2}{(c-2)^4}$.
7. Сократим $(c-2)^2$:
$\frac{(c+2)^2}{(c-2)^2}$.
Ответ: $\left(\frac{c+2}{c-2}\right)^2$.

248. Упростите выражение:

a) $\left(x-\frac{4xy}{x+y}+y\right)·\left(x+\frac{4xy}{x-y}-y\right)=$

$$\begin{gathered} =\frac{x(x+y)-4xy+y(x+y)}{x+y}·\frac{x(x-y)+4xy-y(x-y)}{x-y}= \\ =\frac{x^2+xy-4xy+xy+y^2}{x+y}·\frac{x^2-xy+4xy-xy+y^2}{x-y}= \\ =\frac{x^2-2xy+y^2}{x+y}·\frac{x^2+2xy+y^2}{x-y}=\frac{{(x-y)}^2·{(x+y)}^2}{(x+y)(x-y)}= \\ =(x-y)(x+y)=x^2-y^2 \end{gathered}$$

б) $\left(a-\frac{1-2a^2}{1-a}+1\right):\left(1-\frac{1}{1-a}\right)=$

$$\begin{gathered} =\frac{a(1-a)-(1-2a^2)+(1-a)}{1-a}:\frac{1-a-1}{1-a}= \\ =\frac{a-a^2-1+2a^2+1-a}{1-a}·\frac{1-a}{-a}=-\frac{a^2}{a}=-a \end{gathered}$$

а) Для упрощения данного выражения выполним действия в каждой скобке по отдельности, а затем перемножим результаты.

1. Упростим выражение в первой скобке: $x - \frac{4xy}{x+y} + y$.
Сначала сгруппируем $x$ и $y$ и приведем выражение к общему знаменателю $(x+y)$:
$(x+y) - \frac{4xy}{x+y} = \frac{(x+y)(x+y)}{x+y} - \frac{4xy}{x+y} = \frac{(x+y)^2 - 4xy}{x+y}$.
Раскроем квадрат суммы в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{x^2 + 2xy + y^2 - 4xy}{x+y} = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x+y}$.
Теперь свернем числитель по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$\frac{(x-y)^2}{x+y}$.

2. Упростим выражение во второй скобке: $x + \frac{4xy}{x-y} - y$.
Сгруппируем $x$ и $-y$ и приведем к общему знаменателю $(x-y)$:
$(x-y) + \frac{4xy}{x-y} = \frac{(x-y)(x-y)}{x-y} + \frac{4xy}{x-y} = \frac{(x-y)^2 + 4xy}{x-y}$.
Раскроем квадрат разности в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{x^2 - 2xy + y^2 + 4xy}{x-y} = \frac{x^2 + 2xy + y^2}{x-y}$.
Свернем числитель по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$\frac{(x+y)^2}{x-y}$.

3. Перемножим полученные выражения:
$\frac{(x-y)^2}{x+y} \cdot \frac{(x+y)^2}{x-y}$.
Сократим дроби, разделив числитель и знаменатель на общие множители $(x-y)$ и $(x+y)$:
$(x-y) \cdot (x+y)$.
Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:
$x^2 - y^2$.

Ответ: $x^2 - y^2$.

б) Упростим сначала делимое и делитель, а затем выполним деление.

1. Упростим выражение в первой скобке (делимое): $a - \frac{1-2a^2}{1-a} + 1$.
Сгруппируем $a$ и $1$ и приведем к общему знаменателю $(1-a)$:
$(a+1) - \frac{1-2a^2}{1-a} = \frac{(a+1)(1-a)}{1-a} - \frac{1-2a^2}{1-a}$.
В числителе первой дроби применим формулу разности квадратов $(1+a)(1-a) = 1-a^2$ и выполним вычитание дробей:
$\frac{1-a^2 - (1-2a^2)}{1-a} = \frac{1-a^2-1+2a^2}{1-a}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{a^2}{1-a}$.

2. Упростим выражение во второй скобке (делитель): $1 - \frac{1}{1-a}$.
Приведем к общему знаменателю $(1-a)$:
$\frac{1 \cdot (1-a)}{1-a} - \frac{1}{1-a} = \frac{1-a-1}{1-a} = \frac{-a}{1-a}$.

3. Выполним деление полученных выражений:
$\frac{a^2}{1-a} : \frac{-a}{1-a}$.
Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{a^2}{1-a} \cdot \frac{1-a}{-a}$.
Сократим общие множители $(1-a)$ и $a$ (при условии, что $a \neq 1$ и $a \neq 0$):
$\frac{a}{-1} = -a$.

Ответ: $-a$.