Номер 245, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 245, страница 60.

245. Докажите, что при любом целом а и дробном х значение выражения является чётным числом.

$$\begin{gathered} \left(a-\frac{a^2+x^2}{a+x}\right)·\left(\frac{2a}{x}+\frac{4a}{a-x}\right)= \\ =\frac{a(a+x)-(a^2+x^2)}{a+x}·\frac{2a(a-x)+4ax}{x(a-x)}= \\ =\frac{a^2+ax-a^2-x^2}{a+x}·\frac{2a^2-2ax+4ax}{x(a-x)}= \\ =\frac{ax-x^2}{a+x}·\frac{2a^2+2ax}{x(a-x)}= \\ =\frac{x(a-x)·2a(a+x)}{(a+x)·x(a-x)}=2a \end{gathered}$$

Для доказательства утверждения упростим данное выражение. Обозначим его как $E$.

$E = \left(a - \frac{a^2 + x^2}{a + x}\right) \cdot \left(\frac{2a}{x} + \frac{4a}{a - x}\right)$

Упростим поочередно каждую скобку.

Первая скобка:

Приводим к общему знаменателю $(a+x)$:

$a - \frac{a^2 + x^2}{a + x} = \frac{a(a + x) - (a^2 + x^2)}{a + x} = \frac{a^2 + ax - a^2 - x^2}{a + x} = \frac{ax - x^2}{a + x}$

Выносим $x$ за скобки в числителе:

$\frac{x(a - x)}{a + x}$

Вторая скобка:

Приводим к общему знаменателю $x(a - x)$:

$\frac{2a}{x} + \frac{4a}{a - x} = \frac{2a(a - x) + 4ax}{x(a - x)} = \frac{2a^2 - 2ax + 4ax}{x(a - x)} = \frac{2a^2 + 2ax}{x(a - x)}$

Выносим $2a$ за скобки в числителе:

$\frac{2a(a + x)}{x(a - x)}$

Произведение:

Теперь перемножим полученные упрощенные выражения:

$E = \frac{x(a - x)}{a + x} \cdot \frac{2a(a + x)}{x(a - x)}$

Прежде чем сокращать, отметим, что область определения выражения требует $a+x \neq 0$, $a-x \neq 0$ и $x \neq 0$. Поскольку по условию $a$ — целое число, а $x$ — дробное (нецелое), эти условия всегда выполняются, так как сумма/разность целого и нецелого числа не может быть равна нулю (кроме случая $a=0, x=0$, но $x$ - дробное).

Выполняем сокращение:

$E = \frac{\cancel{x}(\cancel{a - x})}{\cancel{a + x}} \cdot \frac{2a(\cancel{a + x})}{\cancel{x}(\cancel{a - x})} = 2a$

Вывод:

В результате упрощения исходное выражение равно $2a$. По условию $a$ — любое целое число. Произведение любого целого числа на 2 по определению является чётным числом. Таким образом, мы доказали, что значение выражения является чётным числом.

Ответ: Выражение упрощается до $2a$. Так как $a$ — целое число, то $2a$ всегда является чётным числом, что и требовалось доказать.