Номер 252, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 252, страница 61.

252. Представьте в виде рациональной дроби:

a) $\frac{x-{\displaystyle \frac{yz}{y-z}}}{y-{\displaystyle \frac{xz}{x-z}}}=\frac{{\displaystyle \frac{x(y-z)-yz}{y-z}}}{{\displaystyle \frac{y(x-z)-xz}{x-z}}}=\frac{xy-xz-yz}{y-z}:$

$:\frac{yx-yz-xz}{x-z}=\frac{(xy-xz-yz)·(x-z)}{(y-z)(xy-xz-yz)}=\frac{x-z}{y-z}$

б) $\frac{{\displaystyle \frac{a-x}{a}}+{\displaystyle \frac{x}{a-x}}}{{\displaystyle \frac{a+x}{a}}-{\displaystyle \frac{x}{a+x}}}=\frac{{\displaystyle \frac{{(a-x)}^2+ax}{a(a-x)}}}{{\displaystyle \frac{{(a+x)}^2-ax}{a(a+x)}}}=\frac{{(a-x)}^2+ax}{a(a-x)}:$

$$\begin{gathered} :\frac{{(a+x)}^2-ax}{a(a+x)}=\frac{(a^2-2ax+x^2+ax)·a(a+x)}{a(a-x)·(a^2+2ax+x^2-ax)}= \\ =\frac{(a^2-ax+x^2)(a+x)}{(a^2+ax+x^2)(a-x)}=\frac{a^3+x^3}{a^3-x^3} \end{gathered}$$

в) $\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}}}=\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{x+1}{x}}}}}=\frac{1}{1+1:{\displaystyle \frac{x+1}{x}}}=$

$=\frac{1}{1+1·{\displaystyle \frac{x}{x+1}}}=\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{x}{x+1}}}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{x+1+x}{x+1}}}=\frac{x+1}{2x+1}$

г) $\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}}}=\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{x+1}{x}}}}}=\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{x}{x+1}}}=$

$=\frac{1}{{\displaystyle \frac{x+1-x}{x+1}}}=x+1$

а)

Чтобы представить данное выражение в виде рациональной дроби, преобразуем сначала его числитель и знаменатель по отдельности.
Преобразуем числитель:
$x - \frac{yz}{y-z} = \frac{x(y-z)}{y-z} - \frac{yz}{y-z} = \frac{xy - xz - yz}{y-z}$
Преобразуем знаменатель:
$y - \frac{xz}{x-z} = \frac{y(x-z)}{x-z} - \frac{xz}{x-z} = \frac{xy - yz - xz}{x-z}$
Теперь выполним деление числителя на знаменатель:
$\frac{\frac{xy - xz - yz}{y-z}}{\frac{xy - yz - xz}{x-z}} = \frac{xy - xz - yz}{y-z} \cdot \frac{x-z}{xy - yz - xz}$
Сократим общее выражение $(xy - xz - yz)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{1}{y-z} \cdot \frac{x-z}{1} = \frac{x-z}{y-z}$

Ответ: $\frac{x-z}{y-z}$

б)

Преобразуем числитель и знаменатель исходной "многоэтажной" дроби.
Преобразуем числитель, приведя дроби к общему знаменателю $a(a-x)$:
$\frac{a-x}{a} + \frac{x}{a-x} = \frac{(a-x)(a-x)}{a(a-x)} + \frac{x \cdot a}{a(a-x)} = \frac{a^2 - 2ax + x^2 + ax}{a(a-x)} = \frac{a^2 - ax + x^2}{a(a-x)}$
Преобразуем знаменатель, приведя дроби к общему знаменателю $a(a+x)$:
$\frac{a+x}{a} - \frac{x}{a+x} = \frac{(a+x)(a+x)}{a(a+x)} - \frac{x \cdot a}{a(a+x)} = \frac{a^2 + 2ax + x^2 - ax}{a(a+x)} = \frac{a^2 + ax + x^2}{a(a+x)}$
Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:
$\frac{\frac{a^2 - ax + x^2}{a(a-x)}}{\frac{a^2 + ax + x^2}{a(a+x)}} = \frac{a^2 - ax + x^2}{a(a-x)} \cdot \frac{a(a+x)}{a^2 + ax + x^2}$
Сократим на $a$ и перегруппируем множители:
$\frac{(a+x)(a^2 - ax + x^2)}{(a-x)(a^2 + ax + x^2)}$
Воспользуемся формулами суммы кубов $a^3+x^3=(a+x)(a^2-ax+x^2)$ и разности кубов $a^3-x^3=(a-x)(a^2+ax+x^2)$:
$\frac{a^3+x^3}{a^3-x^3}$

Ответ: $\frac{a^3+x^3}{a^3-x^3}$

в)

Упростим данную цепную дробь пошагово, начиная с самой нижней части.
Шаг 1: Преобразуем выражение $1 + \frac{1}{x}$.
$1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$
Шаг 2: Подставим результат в исходное выражение.
$\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{x+1}{x}}} = \frac{1}{1 + \frac{x}{x+1}}$
Шаг 3: Преобразуем знаменатель полученной дроби.
$1 + \frac{x}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} + \frac{x}{x+1} = \frac{x+1+x}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$
Шаг 4: Подставим результат и получим конечный вид.
$\frac{1}{\frac{2x+1}{x+1}} = \frac{x+1}{2x+1}$

Ответ: $\frac{x+1}{2x+1}$

г)

Упростим данную цепную дробь пошагово, начиная с самой нижней части.
Шаг 1: Преобразуем выражение $1 + \frac{1}{x}$.
$1 + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$
Шаг 2: Подставим результат в исходное выражение.
$\frac{1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{x+1}{x}}} = \frac{1}{1 - \frac{x}{x+1}}$
Шаг 3: Преобразуем знаменатель полученной дроби.
$1 - \frac{x}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{x}{x+1} = \frac{x+1-x}{x+1} = \frac{1}{x+1}$
Шаг 4: Подставим результат и получим конечный вид.
$\frac{1}{\frac{1}{x+1}} = x+1$

Ответ: $x+1$