Номер 255, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 255, страница 61.

255. Автомобиль проехал от пункта A до пункта B. До пункта С, находящегося в середине пути, он ехал со скоростью 60 км/ч, а далее из С в В — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути следования.

$$\begin{gathered} v_{ср.}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{60}}+{\displaystyle \frac{1}{80}}}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{4}{240}}+{\displaystyle \frac{3}{240}}}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{7}{240}}}= \\ =\frac{2·240}{7}=\frac{480}{7}=68\frac{4}{7} \left(\text{км/ч}\right) \end{gathered}$$

Ответ: $68\frac{4}{7} \text{км/ч}$

Средняя скорость вычисляется по формуле:
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}}$, где $S_{общ}$ — весь пройденный путь, а $T_{общ}$ — всё время движения.

Пусть весь путь от пункта А до пункта В равен $S$. По условию, пункт С находится на середине пути, значит, автомобиль проехал два одинаковых по длине участка: от А до С и от С до В. Длина каждого участка равна $\frac{S}{2}$.
$S_1 = S_{AC} = \frac{S}{2}$
$S_2 = S_{CB} = \frac{S}{2}$

Скорость на первом участке (от А до С) была $v_1 = 60$ км/ч.
Скорость на втором участке (от С до В) была $v_2 = 80$ км/ч.

Найдем время, затраченное на каждый участок пути, по формуле $t = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}$:
Время на первом участке: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{60} = \frac{S}{120}$ ч.
Время на втором участке: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{80} = \frac{S}{160}$ ч.

Теперь найдем общее время в пути, сложив время, затраченное на каждый участок:
$T_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{120} + \frac{S}{160}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 120 и 160 равно 480.
$T_{общ} = \frac{4S}{480} + \frac{3S}{480} = \frac{4S + 3S}{480} = \frac{7S}{480}$ ч.

Теперь, когда у нас есть весь путь ($S$) и всё время ($\frac{7S}{480}$), мы можем вычислить среднюю скорость:
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}} = \frac{S}{\frac{7S}{480}}$

Сокращаем $S$ и вычисляем значение:
$v_{ср} = \frac{1}{\frac{7}{480}} = 1 \cdot \frac{480}{7} = \frac{480}{7}$ км/ч.

Выразим результат в виде смешанного числа:
$480 \div 7 = 68$ с остатком $4$. Таким образом, $v_{ср} = 68 \frac{4}{7}$ км/ч.

Ответ: $68 \frac{4}{7}$ км/ч.