Номер 251, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 251, страница 61.

251. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от а и b.

$$\begin{gathered} \frac{{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^2-2ab+{\displaystyle \frac{2}{3}}{b}^2}{{\displaystyle \frac{1}{4}}{a}^2-{\displaystyle \frac{1}{9}}{b}^2}+\frac{6b}{{\displaystyle \frac{3}{4}}a+{\displaystyle \frac{1}{2}}b}= \\ =\frac{6\left({\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^2-2ab+{\displaystyle \frac{2}{3}}{b}^2\right)}{6\left({\displaystyle \frac{1}{4}}{a}^2-{\displaystyle \frac{1}{9}}{b}^2\right)}+\frac{4·6b}{4\left({\displaystyle \frac{3}{4}}a+{\displaystyle \frac{1}{2}}b\right)}= \\ =\frac{9a^2-12ab+4b^2}{6\left({\displaystyle \frac{1}{4}}{a}^2-{\displaystyle \frac{1}{9}}{b}^2\right)}+\frac{24b}{3a+2b}= \\ =\frac{{(3a-2b)}^2}{6\left({\displaystyle \frac{1}{2}}a-{\displaystyle \frac{1}{3}}b\right)\left({\displaystyle \frac{1}{2}}a+{\displaystyle \frac{1}{3}}b\right)}+\frac{24b}{3a+2b}= \\ =\frac{{(3a-2b)}^2}{(3a-2b)\left({\displaystyle \frac{1}{2}}a+{\displaystyle \frac{1}{3}}b\right)}+\frac{24b}{3a+2b}= \\ =\frac{(3a-2b)·6}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}a+{\displaystyle \frac{1}{3}}b\right)·6}+\frac{24b}{3a+2b}=\frac{6(3a-2b)}{3a+2b}+ \\ +\frac{24b}{3a+2b}=\frac{18a-12b+24b}{3a+2b}=\frac{18a+12b}{3a+2b}= \\ =\frac{6(3a+2b)}{3a+2b}=6 \end{gathered}$$

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных a и b, необходимо упростить его и показать, что в результате получится постоянное число (константа).

Исходное выражение:

$$ \frac{\frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2}{\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2} + \frac{6b}{\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b} $$

Будем упрощать выражение по действиям.

1. Упростим первую дробь $ \frac{\frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2}{\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2} $.

Сначала преобразуем её числитель. Приведем коэффициенты к общему знаменателю 6 и вынесем $ \frac{1}{6} $ за скобки:

$$ \frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2 = \frac{9}{6}a^2 - \frac{12}{6}ab + \frac{4}{6}b^2 = \frac{1}{6}(9a^2 - 12ab + 4b^2) $$

Выражение в скобках является полным квадратом разности:

$$ 9a^2 - 12ab + 4b^2 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot (2b) + (2b)^2 = (3a - 2b)^2 $$

Таким образом, числитель равен $ \frac{1}{6}(3a - 2b)^2 $.

Теперь преобразуем знаменатель первой дроби. Это формула разности квадратов:

$$ \frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2 = \left(\frac{1}{2}a\right)^2 - \left(\frac{1}{3}b\right)^2 = \left(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b\right)\left(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b\right) $$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в первую дробь:

$$ \frac{\frac{1}{6}(3a - 2b)^2}{\left(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b\right)\left(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b\right)} = \frac{\frac{1}{6}(3a - 2b)^2}{\left(\frac{3a - 2b}{6}\right)\left(\frac{3a + 2b}{6}\right)} = \frac{\frac{1}{6}(3a - 2b)^2}{\frac{(3a - 2b)(3a + 2b)}{36}} $$

Разделим дроби (умножим числитель на перевернутую дробь знаменателя) и сократим:

$$ \frac{1}{6}(3a - 2b)^2 \cdot \frac{36}{(3a - 2b)(3a + 2b)} = \frac{36(3a - 2b)^2}{6(3a - 2b)(3a + 2b)} = \frac{6(3a - 2b)}{3a + 2b} $$

2. Упростим вторую дробь $ \frac{6b}{\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b} $.

Преобразуем знаменатель, приведя слагаемые к общему знаменателю 4:

$$ \frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b = \frac{3a}{4} + \frac{2b}{4} = \frac{3a + 2b}{4} $$

Подставим это в дробь:

$$ \frac{6b}{\frac{3a + 2b}{4}} = 6b \cdot \frac{4}{3a + 2b} = \frac{24b}{3a + 2b} $$

3. Сложим полученные результаты.

$$ \frac{6(3a - 2b)}{3a + 2b} + \frac{24b}{3a + 2b} $$

Так как знаменатели одинаковы, сложим числители:

$$ \frac{6(3a - 2b) + 24b}{3a + 2b} = \frac{18a - 12b + 24b}{3a + 2b} = \frac{18a + 12b}{3a + 2b} $$

Вынесем общий множитель 6 в числителе за скобки:

$$ \frac{6(3a + 2b)}{3a + 2b} $$

Сократим дробь на $ (3a + 2b) $, что возможно для всех допустимых значений переменных (так как знаменатель не может быть равен нулю):

$$ 6 $$

В результате упрощения мы получили число 6. Это означает, что при всех допустимых значениях переменных a и b значение выражения постоянно и равно 6, то есть не зависит от этих переменных, что и требовалось доказать.

Ответ: 6.