Номер 246, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 246, страница 60.

246. Докажите, что при любом значении х, большем 2, значение выражения является отрицательным числом.

$$\begin{gathered} \left(\frac{x+1}{2x}+\frac{4}{x+3}-2\right):\frac{x+1}{x+3}-\frac{x^2-5x+3}{2x}= \\ =\frac{(x+1)(x+3)+4·2x-2·2x(x+3)}{2x(x+3)}·\frac{x+3}{x+1}- \\ -\frac{x^2-5x+3}{2x}= \\ =\frac{x^2+3x+x+3+8x-4x^2-12x}{2x(x+1)}- \\ -\frac{x^2-5x+3}{2x}=\frac{-3x^2+3}{2x(x+1)}-\frac{x^2-5x+3}{2x}= \\ =\frac{-3(x-1)-(x^2-5x+3)}{2x}= \\ =\frac{-3x+3-x^2+5x-3}{2x}= \\ =\frac{-x(x-2)}{2x}=\frac{-(x-2)}{2}<0 \text{при любом }x>2 \end{gathered}$$

Для того чтобы доказать, что значение выражения является отрицательным при любом $x > 2$, необходимо сначала упростить это выражение. Будем выполнять действия по порядку.

1. Выполним действие в скобках. Общий знаменатель для выражений $\frac{x+1}{2x}$, $\frac{4}{x+3}$ и $2$ равен $2x(x+3)$.

$$ \frac{x+1}{2x} + \frac{4}{x+3} - 2 = \frac{(x+1)(x+3)}{2x(x+3)} + \frac{4 \cdot 2x}{2x(x+3)} - \frac{2 \cdot 2x(x+3)}{2x(x+3)} $$

$$ = \frac{x^2+3x+x+3 + 8x - (4x^2+12x)}{2x(x+3)} = \frac{x^2+4x+3 + 8x - 4x^2-12x}{2x(x+3)} $$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ = \frac{(x^2 - 4x^2) + (4x+8x-12x) + 3}{2x(x+3)} = \frac{-3x^2+3}{2x(x+3)} = \frac{-3(x^2-1)}{2x(x+3)} $$

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

$$ \frac{-3(x^2-1)}{2x(x+3)} : \frac{x+1}{x+3} = \frac{-3(x-1)(x+1)}{2x(x+3)} \cdot \frac{x+3}{x+1} $$

Поскольку по условию $x > 2$, то выражения $x+1$ и $x+3$ не равны нулю, и мы можем сократить дробь на эти множители.

$$ \frac{-3(x-1)\require{cancel}\cancel{(x+1)}}{2x\cancel{(x+3)}} \cdot \frac{\cancel{x+3}}{\cancel{x+1}} = \frac{-3(x-1)}{2x} $$

3. Выполним вычитание, используя результат предыдущего действия.

$$ \frac{-3(x-1)}{2x} - \frac{x^2 - 5x + 3}{2x} = \frac{-3(x-1) - (x^2 - 5x + 3)}{2x} $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$$ = \frac{-3x+3 - x^2 + 5x - 3}{2x} = \frac{-x^2 + 2x}{2x} $$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки в числителе и сократим дробь (так как $x>2$, то $x \neq 0$).

$$ \frac{x(-x+2)}{2x} = \frac{-x+2}{2} = \frac{2-x}{2} $$

4. Мы упростили исходное выражение до вида $\frac{2-x}{2}$. Теперь необходимо доказать, что его значение отрицательно при $x > 2$.

Рассмотрим знак числителя и знаменателя полученной дроби.

Знаменатель равен 2, это положительное число.

Числитель равен $2-x$. Так как по условию $x > 2$, мы можем вычесть $x$ из обеих частей неравенства, получив $2-x > 2-x$, что неинформативно. Вместо этого, из $x>2$ следует, что $x-2 > 0$. Тогда $2-x = -(x-2)$ является числом, противоположным положительному, а значит, отрицательным. То есть, $2-x < 0$.

Таким образом, мы делим отрицательное число (числитель $2-x$) на положительное число (знаменатель 2). Результат такого деления всегда является отрицательным числом.

Следовательно, при любом значении $x$, большем 2, значение данного выражения является отрицательным числом, что и требовалось доказать.

Ответ: После упрощения выражение принимает вид $\frac{2-x}{2}$. Поскольку по условию $x>2$, числитель $2-x$ является отрицательным числом, а знаменатель 2 — положительным. Значит, значение всего выражения является отрицательным числом при любом $x > 2$.