Номер 250, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 250, страница 61.

250. Одно из тождеств, приведённых знаменитым математиком XVIII в. Л. Эйлером, выглядит так:

Докажите его.

$$\begin{gathered} a^3+b^3+{\left(\frac{b(2a^3+b^3)}{a^3-b^3}\right)}^3={\left(\frac{a(a^3+2b^3)}{a^3-b^3}\right)}^3 \\ {a}^3+b^3+{\left(\frac{a(a^3+2b^3)}{a^3-b^3}\right)}^3={\left(\frac{b(2a^3+b^3)}{a^3-b^3}\right)}^3 \\ {a}^3+b^3+\frac{a^3{(a^3+2b^3)}^3}{{(a^3-b^3)}^3}=\frac{b^3{(2a^3+b^3)}^3}{{(a^3-b^2)}^2} \\ {a}^3+b^3+\frac{a^3{(a^3+2b^3)}^3-b^3{(2a^3+b^3)}^3}{{(a^3-b^3)}^3} \\ (a^3+b^3){(a^3-b^3)}^3=a^3{(a^3+2b^3)}^3-b^3{(2a^3+b^3)}^3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} (a^3+b^3){(a^3-b^3)}^3=(a^3+b^3)(a^3-b^3){(a^3-b^3)}^2= \\ =(a^6-b^6\left)\right(a^6-2a^3{b}^3+b^6)=a^{12}-2a^9{b}^3+a^6{b}^6- \\ -a^6{b}^6+2a^3{b}^9-b^{12}=a^{12}-2a^9{b}^3+2a^3{b}^9-b^{12} \\ \mathbf{2}\mathbf{)} a^3{(a^3+2b^3)}^3-b^3{(2a^3+b^3)}^3=a^3(a^9+3a^6·2b^3+ \\ +3a^3·4b^6+8b^9)-b^3(8a^9+3·4a^6·b^3+3·2a^3{b}^6+ \\ +b^9)=a^3(a^9+6a^6{b}^3+12a^3{b}^6+8b^9)-b^3(8a^9+ \\ +{12}^6{b}^3+6a^3{b}^6+b^9)=a^{12}+6a^9{b}^3+12a^6{b}^6+ \\ +8a^3{b}^9-8a^9{b}^3-12a^6{b}^6-6a^3{b}^9-b^{12}= \\ =a^{12}-2a^9{b}^3+2a^3{b}^9-b^{12} \end{gathered}$$

Получили, что:

$$\begin{gathered} a^{12}-2a^9{b}^3+2a^3{b}^9-b^{12}= \\ =a^{12}-2a^9{b}^3+2a^3{b}^9-b^{12} \end{gathered}$$

Значит, тождество доказано

Докажите его.

Для доказательства данного тождества преобразуем его, перенеся одно из слагаемых из левой части в правую. Исходное тождество:

$a^3 + b^3 + \left( \frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3} \right)^3 = \left( \frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3} \right)^3$

Данное тождество определено при условии $a^3 - b^3 \neq 0$.

Перенесем второй член из левой части в правую:

$a^3 + b^3 = \left( \frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3} \right)^3 - \left( \frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3} \right)^3$

Теперь рассмотрим правую часть (ПЧ) этого равенства и упростим ее. Правая часть представляет собой разность кубов. Объединим дроби под общим знаменателем:

ПЧ $= \frac{a^3(a^3 + 2b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} - \frac{b^3(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} = \frac{a^3(a^3 + 2b^3)^3 - b^3(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3}$

Воспользуемся формулой куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$ для раскрытия скобок в числителе.

$(a^3 + 2b^3)^3 = (a^3)^3 + 3(a^3)^2(2b^3) + 3(a^3)(2b^3)^2 + (2b^3)^3 = a^9 + 6a^6b^3 + 12a^3b^6 + 8b^9$

$(2a^3 + b^3)^3 = (2a^3)^3 + 3(2a^3)^2(b^3) + 3(2a^3)(b^3)^2 + (b^3)^3 = 8a^9 + 12a^6b^3 + 6a^3b^6 + b^9$

Подставим эти выражения в числитель правой части:

Числитель $= a^3(a^9 + 6a^6b^3 + 12a^3b^6 + 8b^9) - b^3(8a^9 + 12a^6b^3 + 6a^3b^6 + b^9)$

Раскроем скобки:

Числитель $= (a^{12} + 6a^9b^3 + 12a^6b^6 + 8a^3b^9) - (8a^9b^3 + 12a^6b^6 + 6a^3b^9 + b^{12})$

Приведем подобные слагаемые:

Числитель $= a^{12} + 6a^9b^3 - 8a^9b^3 + 12a^6b^6 - 12a^6b^6 + 8a^3b^9 - 6a^3b^9 - b^{12}$
Числитель $= a^{12} - 2a^9b^3 + 2a^3b^9 - b^{12}$

Теперь сгруппируем слагаемые в числителе и вынесем общие множители:

Числитель $= (a^{12} - b^{12}) - (2a^9b^3 - 2a^3b^9) = (a^6-b^6)(a^6+b^6) - 2a^3b^3(a^6-b^6)$

Вынесем общий множитель $(a^6-b^6)$:

Числитель $= (a^6-b^6)(a^6+b^6-2a^3b^3)$

Заметим, что $(a^6-b^6) = (a^3-b^3)(a^3+b^3)$ и $(a^6-2a^3b^3+b^6) = (a^3-b^3)^2$. Подставим это в выражение для числителя:

Числитель $= (a^3-b^3)(a^3+b^3)(a^3-b^3)^2 = (a^3+b^3)(a^3-b^3)^3$

Подставим полученное выражение для числителя обратно в формулу для правой части:

ПЧ $= \frac{(a^3+b^3)(a^3-b^3)^3}{(a^3-b^3)^3}$

Сократим дробь на $(a^3-b^3)^3$ (так как по условию $a^3-b^3 \neq 0$):

ПЧ $= a^3+b^3$

Мы получили, что правая часть преобразованного равенства равна $a^3+b^3$, что в точности совпадает с его левой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано путем последовательных алгебраических преобразований. После преобразования исходного равенства к виду $a^3 + b^3 = \left( \frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3} \right)^3 - \left( \frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3} \right)^3$ и упрощения его правой части, мы получили верное равенство $a^3+b^3 = a^3+b^3$, что и требовалось доказать.