Страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

249. Докажите тождество

$$\begin{gathered} \frac{1}{p-2q}+\frac{6q}{4q^2-p^2}-\frac{2}{p+2q}= \\ =-\frac{1}{2p}·\left(\frac{p^2+4q^2}{p^2-4q^2}+1\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{1}{p-2q}+\frac{6q}{(2q-p)(2q+p)}-\frac{2}{p+2q}= \\ =-\frac{1}{2p}·\frac{p^2+4q^2+p^2-4q^2}{p^2-4q^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{1}{p-2q}-\frac{6q}{(p-2q)(p+2q)}-\frac{2}{p+2q}= \\ =-\frac{1}{2p}·\frac{2p^2}{p^2-4q^2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{p+2q-6q-2(p-2q)}{(p-2q)(p+2q)}=-\frac{p}{p^2-4q^2}= \\ =\frac{p-4q-2p+4q}{p^2-4q^2}=-\frac{p}{p^2-4q^2} \end{gathered}$$

$\frac{-p}{p^2-4q^2}=-\frac{p}{p^2-4q^2}$

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности, чтобы показать, что они равны одному и тому же выражению.

Преобразование левой части:

$ \frac{1}{p-2q} + \frac{6q}{4q^2 - p^2} - \frac{2}{p+2q} $

Заметим, что знаменатель второй дроби $4q^2 - p^2$ можно разложить по формуле разности квадратов и преобразовать: $4q^2 - p^2 = (2q-p)(2q+p) = -(p-2q)(p+2q) = -(p^2-4q^2)$. Подставим это в выражение:

$ \frac{1}{p-2q} + \frac{6q}{-(p^2-4q^2)} - \frac{2}{p+2q} = \frac{1}{p-2q} - \frac{6q}{p^2-4q^2} - \frac{2}{p+2q} $

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $p^2 - 4q^2 = (p-2q)(p+2q)$:

$ \frac{1 \cdot (p+2q)}{(p-2q)(p+2q)} - \frac{6q}{p^2-4q^2} - \frac{2 \cdot (p-2q)}{(p+2q)(p-2q)} = \frac{(p+2q) - 6q - 2(p-2q)}{p^2-4q^2} $

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$ p+2q - 6q - 2p + 4q = (p-2p) + (2q-6q+4q) = -p $

Таким образом, левая часть равна $ \frac{-p}{p^2 - 4q^2} $.

Преобразование правой части:

$ -\frac{1}{2p} \cdot \left( \frac{p^2 + 4q^2}{p^2 - 4q^2} + 1 \right) $

Сначала упростим выражение в скобках, приведя $1$ к общему знаменателю:

$ \frac{p^2 + 4q^2}{p^2 - 4q^2} + \frac{p^2 - 4q^2}{p^2 - 4q^2} = \frac{p^2 + 4q^2 + p^2 - 4q^2}{p^2 - 4q^2} = \frac{2p^2}{p^2 - 4q^2} $

Теперь подставим результат обратно в выражение для правой части и выполним умножение:

$ -\frac{1}{2p} \cdot \frac{2p^2}{p^2 - 4q^2} = -\frac{2p^2}{2p(p^2 - 4q^2)} $

Сократив дробь на $2p$, получим:

$ -\frac{p}{p^2 - 4q^2} $

Поскольку левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению $ -\frac{p}{p^2 - 4q^2} $, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

250. Одно из тождеств, приведённых знаменитым математиком XVIII в. Л. Эйлером, выглядит так:

Докажите его.

$$\begin{gathered} a^3+b^3+{\left(\frac{b(2a^3+b^3)}{a^3-b^3}\right)}^3={\left(\frac{a(a^3+2b^3)}{a^3-b^3}\right)}^3 \\ {a}^3+b^3+{\left(\frac{a(a^3+2b^3)}{a^3-b^3}\right)}^3={\left(\frac{b(2a^3+b^3)}{a^3-b^3}\right)}^3 \\ {a}^3+b^3+\frac{a^3{(a^3+2b^3)}^3}{{(a^3-b^3)}^3}=\frac{b^3{(2a^3+b^3)}^3}{{(a^3-b^2)}^2} \\ {a}^3+b^3+\frac{a^3{(a^3+2b^3)}^3-b^3{(2a^3+b^3)}^3}{{(a^3-b^3)}^3} \\ (a^3+b^3){(a^3-b^3)}^3=a^3{(a^3+2b^3)}^3-b^3{(2a^3+b^3)}^3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} (a^3+b^3){(a^3-b^3)}^3=(a^3+b^3)(a^3-b^3){(a^3-b^3)}^2= \\ =(a^6-b^6\left)\right(a^6-2a^3{b}^3+b^6)=a^{12}-2a^9{b}^3+a^6{b}^6- \\ -a^6{b}^6+2a^3{b}^9-b^{12}=a^{12}-2a^9{b}^3+2a^3{b}^9-b^{12} \\ \mathbf{2}\mathbf{)} a^3{(a^3+2b^3)}^3-b^3{(2a^3+b^3)}^3=a^3(a^9+3a^6·2b^3+ \\ +3a^3·4b^6+8b^9)-b^3(8a^9+3·4a^6·b^3+3·2a^3{b}^6+ \\ +b^9)=a^3(a^9+6a^6{b}^3+12a^3{b}^6+8b^9)-b^3(8a^9+ \\ +{12}^6{b}^3+6a^3{b}^6+b^9)=a^{12}+6a^9{b}^3+12a^6{b}^6+ \\ +8a^3{b}^9-8a^9{b}^3-12a^6{b}^6-6a^3{b}^9-b^{12}= \\ =a^{12}-2a^9{b}^3+2a^3{b}^9-b^{12} \end{gathered}$$

Получили, что:

$$\begin{gathered} a^{12}-2a^9{b}^3+2a^3{b}^9-b^{12}= \\ =a^{12}-2a^9{b}^3+2a^3{b}^9-b^{12} \end{gathered}$$

Значит, тождество доказано

Докажите его.

Для доказательства данного тождества преобразуем его, перенеся одно из слагаемых из левой части в правую. Исходное тождество:

$a^3 + b^3 + \left( \frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3} \right)^3 = \left( \frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3} \right)^3$

Данное тождество определено при условии $a^3 - b^3 \neq 0$.

Перенесем второй член из левой части в правую:

$a^3 + b^3 = \left( \frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3} \right)^3 - \left( \frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3} \right)^3$

Теперь рассмотрим правую часть (ПЧ) этого равенства и упростим ее. Правая часть представляет собой разность кубов. Объединим дроби под общим знаменателем:

ПЧ $= \frac{a^3(a^3 + 2b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} - \frac{b^3(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3} = \frac{a^3(a^3 + 2b^3)^3 - b^3(2a^3 + b^3)^3}{(a^3 - b^3)^3}$

Воспользуемся формулой куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$ для раскрытия скобок в числителе.

$(a^3 + 2b^3)^3 = (a^3)^3 + 3(a^3)^2(2b^3) + 3(a^3)(2b^3)^2 + (2b^3)^3 = a^9 + 6a^6b^3 + 12a^3b^6 + 8b^9$

$(2a^3 + b^3)^3 = (2a^3)^3 + 3(2a^3)^2(b^3) + 3(2a^3)(b^3)^2 + (b^3)^3 = 8a^9 + 12a^6b^3 + 6a^3b^6 + b^9$

Подставим эти выражения в числитель правой части:

Числитель $= a^3(a^9 + 6a^6b^3 + 12a^3b^6 + 8b^9) - b^3(8a^9 + 12a^6b^3 + 6a^3b^6 + b^9)$

Раскроем скобки:

Числитель $= (a^{12} + 6a^9b^3 + 12a^6b^6 + 8a^3b^9) - (8a^9b^3 + 12a^6b^6 + 6a^3b^9 + b^{12})$

Приведем подобные слагаемые:

Числитель $= a^{12} + 6a^9b^3 - 8a^9b^3 + 12a^6b^6 - 12a^6b^6 + 8a^3b^9 - 6a^3b^9 - b^{12}$
Числитель $= a^{12} - 2a^9b^3 + 2a^3b^9 - b^{12}$

Теперь сгруппируем слагаемые в числителе и вынесем общие множители:

Числитель $= (a^{12} - b^{12}) - (2a^9b^3 - 2a^3b^9) = (a^6-b^6)(a^6+b^6) - 2a^3b^3(a^6-b^6)$

Вынесем общий множитель $(a^6-b^6)$:

Числитель $= (a^6-b^6)(a^6+b^6-2a^3b^3)$

Заметим, что $(a^6-b^6) = (a^3-b^3)(a^3+b^3)$ и $(a^6-2a^3b^3+b^6) = (a^3-b^3)^2$. Подставим это в выражение для числителя:

Числитель $= (a^3-b^3)(a^3+b^3)(a^3-b^3)^2 = (a^3+b^3)(a^3-b^3)^3$

Подставим полученное выражение для числителя обратно в формулу для правой части:

ПЧ $= \frac{(a^3+b^3)(a^3-b^3)^3}{(a^3-b^3)^3}$

Сократим дробь на $(a^3-b^3)^3$ (так как по условию $a^3-b^3 \neq 0$):

ПЧ $= a^3+b^3$

Мы получили, что правая часть преобразованного равенства равна $a^3+b^3$, что в точности совпадает с его левой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано путем последовательных алгебраических преобразований. После преобразования исходного равенства к виду $a^3 + b^3 = \left( \frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 - b^3} \right)^3 - \left( \frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 - b^3} \right)^3$ и упрощения его правой части, мы получили верное равенство $a^3+b^3 = a^3+b^3$, что и требовалось доказать.

251. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от а и b.

$$\begin{gathered} \frac{{\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^2-2ab+{\displaystyle \frac{2}{3}}{b}^2}{{\displaystyle \frac{1}{4}}{a}^2-{\displaystyle \frac{1}{9}}{b}^2}+\frac{6b}{{\displaystyle \frac{3}{4}}a+{\displaystyle \frac{1}{2}}b}= \\ =\frac{6\left({\displaystyle \frac{3}{2}}{a}^2-2ab+{\displaystyle \frac{2}{3}}{b}^2\right)}{6\left({\displaystyle \frac{1}{4}}{a}^2-{\displaystyle \frac{1}{9}}{b}^2\right)}+\frac{4·6b}{4\left({\displaystyle \frac{3}{4}}a+{\displaystyle \frac{1}{2}}b\right)}= \\ =\frac{9a^2-12ab+4b^2}{6\left({\displaystyle \frac{1}{4}}{a}^2-{\displaystyle \frac{1}{9}}{b}^2\right)}+\frac{24b}{3a+2b}= \\ =\frac{{(3a-2b)}^2}{6\left({\displaystyle \frac{1}{2}}a-{\displaystyle \frac{1}{3}}b\right)\left({\displaystyle \frac{1}{2}}a+{\displaystyle \frac{1}{3}}b\right)}+\frac{24b}{3a+2b}= \\ =\frac{{(3a-2b)}^2}{(3a-2b)\left({\displaystyle \frac{1}{2}}a+{\displaystyle \frac{1}{3}}b\right)}+\frac{24b}{3a+2b}= \\ =\frac{(3a-2b)·6}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}a+{\displaystyle \frac{1}{3}}b\right)·6}+\frac{24b}{3a+2b}=\frac{6(3a-2b)}{3a+2b}+ \\ +\frac{24b}{3a+2b}=\frac{18a-12b+24b}{3a+2b}=\frac{18a+12b}{3a+2b}= \\ =\frac{6(3a+2b)}{3a+2b}=6 \end{gathered}$$

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных a и b, необходимо упростить его и показать, что в результате получится постоянное число (константа).

Исходное выражение:

$$ \frac{\frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2}{\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2} + \frac{6b}{\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b} $$

Будем упрощать выражение по действиям.

1. Упростим первую дробь $ \frac{\frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2}{\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2} $.

Сначала преобразуем её числитель. Приведем коэффициенты к общему знаменателю 6 и вынесем $ \frac{1}{6} $ за скобки:

$$ \frac{3}{2}a^2 - 2ab + \frac{2}{3}b^2 = \frac{9}{6}a^2 - \frac{12}{6}ab + \frac{4}{6}b^2 = \frac{1}{6}(9a^2 - 12ab + 4b^2) $$

Выражение в скобках является полным квадратом разности:

$$ 9a^2 - 12ab + 4b^2 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot (2b) + (2b)^2 = (3a - 2b)^2 $$

Таким образом, числитель равен $ \frac{1}{6}(3a - 2b)^2 $.

Теперь преобразуем знаменатель первой дроби. Это формула разности квадратов:

$$ \frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{9}b^2 = \left(\frac{1}{2}a\right)^2 - \left(\frac{1}{3}b\right)^2 = \left(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b\right)\left(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b\right) $$

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в первую дробь:

$$ \frac{\frac{1}{6}(3a - 2b)^2}{\left(\frac{1}{2}a - \frac{1}{3}b\right)\left(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b\right)} = \frac{\frac{1}{6}(3a - 2b)^2}{\left(\frac{3a - 2b}{6}\right)\left(\frac{3a + 2b}{6}\right)} = \frac{\frac{1}{6}(3a - 2b)^2}{\frac{(3a - 2b)(3a + 2b)}{36}} $$

Разделим дроби (умножим числитель на перевернутую дробь знаменателя) и сократим:

$$ \frac{1}{6}(3a - 2b)^2 \cdot \frac{36}{(3a - 2b)(3a + 2b)} = \frac{36(3a - 2b)^2}{6(3a - 2b)(3a + 2b)} = \frac{6(3a - 2b)}{3a + 2b} $$

2. Упростим вторую дробь $ \frac{6b}{\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b} $.

Преобразуем знаменатель, приведя слагаемые к общему знаменателю 4:

$$ \frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b = \frac{3a}{4} + \frac{2b}{4} = \frac{3a + 2b}{4} $$

Подставим это в дробь:

$$ \frac{6b}{\frac{3a + 2b}{4}} = 6b \cdot \frac{4}{3a + 2b} = \frac{24b}{3a + 2b} $$

3. Сложим полученные результаты.

$$ \frac{6(3a - 2b)}{3a + 2b} + \frac{24b}{3a + 2b} $$

Так как знаменатели одинаковы, сложим числители:

$$ \frac{6(3a - 2b) + 24b}{3a + 2b} = \frac{18a - 12b + 24b}{3a + 2b} = \frac{18a + 12b}{3a + 2b} $$

Вынесем общий множитель 6 в числителе за скобки:

$$ \frac{6(3a + 2b)}{3a + 2b} $$

Сократим дробь на $ (3a + 2b) $, что возможно для всех допустимых значений переменных (так как знаменатель не может быть равен нулю):

$$ 6 $$

В результате упрощения мы получили число 6. Это означает, что при всех допустимых значениях переменных a и b значение выражения постоянно и равно 6, то есть не зависит от этих переменных, что и требовалось доказать.

Ответ: 6.

252. Представьте в виде рациональной дроби:

a) $\frac{x-{\displaystyle \frac{yz}{y-z}}}{y-{\displaystyle \frac{xz}{x-z}}}=\frac{{\displaystyle \frac{x(y-z)-yz}{y-z}}}{{\displaystyle \frac{y(x-z)-xz}{x-z}}}=\frac{xy-xz-yz}{y-z}:$

$:\frac{yx-yz-xz}{x-z}=\frac{(xy-xz-yz)·(x-z)}{(y-z)(xy-xz-yz)}=\frac{x-z}{y-z}$

б) $\frac{{\displaystyle \frac{a-x}{a}}+{\displaystyle \frac{x}{a-x}}}{{\displaystyle \frac{a+x}{a}}-{\displaystyle \frac{x}{a+x}}}=\frac{{\displaystyle \frac{{(a-x)}^2+ax}{a(a-x)}}}{{\displaystyle \frac{{(a+x)}^2-ax}{a(a+x)}}}=\frac{{(a-x)}^2+ax}{a(a-x)}:$

$$\begin{gathered} :\frac{{(a+x)}^2-ax}{a(a+x)}=\frac{(a^2-2ax+x^2+ax)·a(a+x)}{a(a-x)·(a^2+2ax+x^2-ax)}= \\ =\frac{(a^2-ax+x^2)(a+x)}{(a^2+ax+x^2)(a-x)}=\frac{a^3+x^3}{a^3-x^3} \end{gathered}$$

в) $\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}}}=\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{x+1}{x}}}}}=\frac{1}{1+1:{\displaystyle \frac{x+1}{x}}}=$

$=\frac{1}{1+1·{\displaystyle \frac{x}{x+1}}}=\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{x}{x+1}}}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{x+1+x}{x+1}}}=\frac{x+1}{2x+1}$

г) $\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}}}=\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{{\displaystyle \frac{x+1}{x}}}}}=\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{x}{x+1}}}=$

$=\frac{1}{{\displaystyle \frac{x+1-x}{x+1}}}=x+1$

а)

Чтобы представить данное выражение в виде рациональной дроби, преобразуем сначала его числитель и знаменатель по отдельности.
Преобразуем числитель:
$x - \frac{yz}{y-z} = \frac{x(y-z)}{y-z} - \frac{yz}{y-z} = \frac{xy - xz - yz}{y-z}$
Преобразуем знаменатель:
$y - \frac{xz}{x-z} = \frac{y(x-z)}{x-z} - \frac{xz}{x-z} = \frac{xy - yz - xz}{x-z}$
Теперь выполним деление числителя на знаменатель:
$\frac{\frac{xy - xz - yz}{y-z}}{\frac{xy - yz - xz}{x-z}} = \frac{xy - xz - yz}{y-z} \cdot \frac{x-z}{xy - yz - xz}$
Сократим общее выражение $(xy - xz - yz)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{1}{y-z} \cdot \frac{x-z}{1} = \frac{x-z}{y-z}$

Ответ: $\frac{x-z}{y-z}$

б)

Преобразуем числитель и знаменатель исходной "многоэтажной" дроби.
Преобразуем числитель, приведя дроби к общему знаменателю $a(a-x)$:
$\frac{a-x}{a} + \frac{x}{a-x} = \frac{(a-x)(a-x)}{a(a-x)} + \frac{x \cdot a}{a(a-x)} = \frac{a^2 - 2ax + x^2 + ax}{a(a-x)} = \frac{a^2 - ax + x^2}{a(a-x)}$
Преобразуем знаменатель, приведя дроби к общему знаменателю $a(a+x)$:
$\frac{a+x}{a} - \frac{x}{a+x} = \frac{(a+x)(a+x)}{a(a+x)} - \frac{x \cdot a}{a(a+x)} = \frac{a^2 + 2ax + x^2 - ax}{a(a+x)} = \frac{a^2 + ax + x^2}{a(a+x)}$
Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:
$\frac{\frac{a^2 - ax + x^2}{a(a-x)}}{\frac{a^2 + ax + x^2}{a(a+x)}} = \frac{a^2 - ax + x^2}{a(a-x)} \cdot \frac{a(a+x)}{a^2 + ax + x^2}$
Сократим на $a$ и перегруппируем множители:
$\frac{(a+x)(a^2 - ax + x^2)}{(a-x)(a^2 + ax + x^2)}$
Воспользуемся формулами суммы кубов $a^3+x^3=(a+x)(a^2-ax+x^2)$ и разности кубов $a^3-x^3=(a-x)(a^2+ax+x^2)$:
$\frac{a^3+x^3}{a^3-x^3}$

Ответ: $\frac{a^3+x^3}{a^3-x^3}$

в)

Упростим данную цепную дробь пошагово, начиная с самой нижней части.
Шаг 1: Преобразуем выражение $1 + \frac{1}{x}$.
$1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$
Шаг 2: Подставим результат в исходное выражение.
$\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{\frac{x+1}{x}}} = \frac{1}{1 + \frac{x}{x+1}}$
Шаг 3: Преобразуем знаменатель полученной дроби.
$1 + \frac{x}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} + \frac{x}{x+1} = \frac{x+1+x}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}$
Шаг 4: Подставим результат и получим конечный вид.
$\frac{1}{\frac{2x+1}{x+1}} = \frac{x+1}{2x+1}$

Ответ: $\frac{x+1}{2x+1}$

г)

Упростим данную цепную дробь пошагово, начиная с самой нижней части.
Шаг 1: Преобразуем выражение $1 + \frac{1}{x}$.
$1 + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$
Шаг 2: Подставим результат в исходное выражение.
$\frac{1}{1 - \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{\frac{x+1}{x}}} = \frac{1}{1 - \frac{x}{x+1}}$
Шаг 3: Преобразуем знаменатель полученной дроби.
$1 - \frac{x}{x+1} = \frac{x+1}{x+1} - \frac{x}{x+1} = \frac{x+1-x}{x+1} = \frac{1}{x+1}$
Шаг 4: Подставим результат и получим конечный вид.
$\frac{1}{\frac{1}{x+1}} = x+1$

Ответ: $x+1$

253. При каких значениях х имеет смысл выражение:

a) $\frac{{\displaystyle \frac{1}{x-2}}+{\displaystyle \frac{x}{x+2}}}{{\displaystyle \frac{3x}{x^2-4}}}$

$\begin{array}{lll}x-2\ne 0& x\ne 2& \frac{3x}{x^2-4}\ne 0\\ x+2\ne 0& x\ne -2& 3x\ne 0\\ x^2-4\ne 0& x\ne \pm 2& x\ne 0\end{array}$

Ответ: выражение имеет смысл при любых x, кроме -2; 0; 2

б) $\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{x}}}}}$

$\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ 1-\frac{1}{x}\ne 0\\ 1-\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{x}}}\ne 0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ \frac{x-1}{x}\ne 0\\ 1-\frac{1}{{\displaystyle \frac{x-1}{x}}}\ne 0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x-1\ne 0\\ 1-\frac{x}{{\displaystyle x-1}}\ne 0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne 1\\ \frac{x-1-x}{{\displaystyle x-1}}\ne 0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne 1\\ -\frac{1}{{\displaystyle x-1}}\ne 0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne 1\end{array}\right.$

Ответ: выражение имеет смысл при любых x, кроме 0 и 1

а)

Чтобы найти, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл, необходимо определить его область допустимых значений (ОДЗ). Выражение является дробным, и его смысл теряется, когда какой-либо из знаменателей обращается в ноль.

Рассмотрим выражение:

$$ \frac{\frac{1}{x-2} + \frac{x}{x+2}}{\frac{3x}{x^2 - 4}} $$

Найдем все знаменатели и приравняем их к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$:

1. Знаменатели дробей в числителе: $x-2$ и $x+2$.
$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

2. Знаменатель дроби $\frac{3x}{x^2 - 4}$ — это $x^2-4$.
$x^2-4 \neq 0 \implies (x-2)(x+2) \neq 0$.
Это условие также дает $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

3. Знаменатель всего выражения — это дробь $\frac{3x}{x^2 - 4}$. Эта дробь не должна равняться нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю (а знаменатель при этом не равен нулю).
Следовательно, числитель $3x$ не должен быть равен нулю:
$3x \neq 0 \implies x \neq 0$.

Объединяя все полученные условия, мы заключаем, что выражение имеет смысл для всех значений $x$, за исключением $x=-2$, $x=0$ и $x=2$.

Ответ: $x \neq -2, x \neq 0, x \neq 2$.

б)

Данное выражение представляет собой многоэтажную дробь. Оно имеет смысл, когда все знаменатели, встречающиеся в его записи, не равны нулю.

Рассмотрим выражение:

$$ \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}} $$

Проанализируем все знаменатели, двигаясь от самого внутреннего к внешнему:

1. Самая внутренняя дробь — это $\frac{1}{x}$. Ее знаменатель $x$ не должен быть равен нулю.
$x \neq 0$.

2. Следующий знаменатель — это выражение $1 - \frac{1}{x}$. Он также не должен быть равен нулю.
$1 - \frac{1}{x} \neq 0 \implies 1 \neq \frac{1}{x} \implies x \neq 1$.

3. Внешний (главный) знаменатель — это $1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$. Он также не должен равняться нулю.
$1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} \neq 0 \implies 1 \neq \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$.
Преобразуем выражение в правой части неравенства: $\frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{1}{\frac{x-1}{x}} = \frac{x}{x-1}$.
Теперь неравенство выглядит так: $1 \neq \frac{x}{x-1}$.
Поскольку из пункта 2 мы знаем, что $x \neq 1$, то знаменатель $x-1$ не равен нулю, и мы можем умножить обе части неравенства на $x-1$:
$x-1 \neq x \implies -1 \neq 0$.
Это неравенство истинно для любого значения $x$. Таким образом, это условие не добавляет новых ограничений.

Собрав все ограничения вместе, получаем, что $x$ не может быть равен 0 и 1.

Ответ: $x \neq 0, x \neq 1$.

254. Три вязальщицы получили одинаковые заказы на изготовление салфеток. Первая из них может выполнить заказ за 8 ч, вторая — за 9 ч, а их ученица — за 12 ч. Они объединили заказы и стали выполнять их совместно. Через сколько часов работа была закончена?

Используя формулу среднего гармонического, получим:

$$\begin{gathered} t=\frac{3}{{\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}}=\frac{3}{{\displaystyle \frac{9}{72}}+{\displaystyle \frac{8}{72}}+{\displaystyle \frac{6}{72}}}=\frac{3}{{\displaystyle \frac{23}{72}}}= \\ =\frac{3·72}{23}=\frac{216}{23}=9\frac{9}{23}\left(\text{ч}\right) \end{gathered}$$

Ответ: через $9\frac{9}{23}\text{ч}$

Для решения этой задачи необходимо сначала определить производительность каждой вязальщицы, а затем их общую производительность при совместной работе. Примем весь объем одного заказа за 1.

1. Найдем производительность каждой вязальщицы.
Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени (в данном случае, за 1 час).

• Первая вязальщица выполняет заказ за 8 часов, значит, ее производительность $P_1 = \frac{1}{8}$ заказа в час.
• Вторая вязальщица выполняет заказ за 9 часов, ее производительность $P_2 = \frac{1}{9}$ заказа в час.
• Ученица выполняет заказ за 12 часов, ее производительность $P_3 = \frac{1}{12}$ заказа в час.

2. Найдем общую производительность.
При совместной работе производительности складываются:
$P_{общ} = P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{12}$.
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 8, 9 и 12 это 72.
$P_{общ} = \frac{9}{72} + \frac{8}{72} + \frac{6}{72} = \frac{9 + 8 + 6}{72} = \frac{23}{72}$.
Таким образом, работая вместе, они выполняют $\frac{23}{72}$ часть одного заказа за час.

3. Найдем общее время на выполнение всех заказов.
Вязальщицы объединили три одинаковых заказа, поэтому общий объем работы $A = 3$.
Время $t$ для выполнения работы находится по формуле $t = \frac{A}{P_{общ}}$.
$t = \frac{3}{\frac{23}{72}} = 3 \cdot \frac{72}{23} = \frac{216}{23}$.
Выделим целую часть из неправильной дроби:
$\frac{216}{23} = 9 \frac{9}{23}$ часа.

Ответ: работа была закончена через $9 \frac{9}{23}$ часа.

255. Автомобиль проехал от пункта A до пункта B. До пункта С, находящегося в середине пути, он ехал со скоростью 60 км/ч, а далее из С в В — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути следования.

$$\begin{gathered} v_{ср.}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{1}{60}}+{\displaystyle \frac{1}{80}}}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{4}{240}}+{\displaystyle \frac{3}{240}}}=\frac{2}{{\displaystyle \frac{7}{240}}}= \\ =\frac{2·240}{7}=\frac{480}{7}=68\frac{4}{7} \left(\text{км/ч}\right) \end{gathered}$$

Ответ: $68\frac{4}{7} \text{км/ч}$

Средняя скорость вычисляется по формуле:
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}}$, где $S_{общ}$ — весь пройденный путь, а $T_{общ}$ — всё время движения.

Пусть весь путь от пункта А до пункта В равен $S$. По условию, пункт С находится на середине пути, значит, автомобиль проехал два одинаковых по длине участка: от А до С и от С до В. Длина каждого участка равна $\frac{S}{2}$.
$S_1 = S_{AC} = \frac{S}{2}$
$S_2 = S_{CB} = \frac{S}{2}$

Скорость на первом участке (от А до С) была $v_1 = 60$ км/ч.
Скорость на втором участке (от С до В) была $v_2 = 80$ км/ч.

Найдем время, затраченное на каждый участок пути, по формуле $t = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}$:
Время на первом участке: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{60} = \frac{S}{120}$ ч.
Время на втором участке: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{80} = \frac{S}{160}$ ч.

Теперь найдем общее время в пути, сложив время, затраченное на каждый участок:
$T_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{120} + \frac{S}{160}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 120 и 160 равно 480.
$T_{общ} = \frac{4S}{480} + \frac{3S}{480} = \frac{4S + 3S}{480} = \frac{7S}{480}$ ч.

Теперь, когда у нас есть весь путь ($S$) и всё время ($\frac{7S}{480}$), мы можем вычислить среднюю скорость:
$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{T_{общ}} = \frac{S}{\frac{7S}{480}}$

Сокращаем $S$ и вычисляем значение:
$v_{ср} = \frac{1}{\frac{7}{480}} = 1 \cdot \frac{480}{7} = \frac{480}{7}$ км/ч.

Выразим результат в виде смешанного числа:
$480 \div 7 = 68$ с остатком $4$. Таким образом, $v_{ср} = 68 \frac{4}{7}$ км/ч.

Ответ: $68 \frac{4}{7}$ км/ч.