Страница 68 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

268. Приведите пример:

а) рационального числа;

б) иррационального числа.

a) $0, \left(7\right)=\frac{7}{9};$

б) 8,01134000875...

а) рационального числа

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число, а знаменатель $n$ — натуральное число. Десятичное представление рационального числа является либо конечной, либо бесконечной периодической дробью.
Примерами рациональных чисел могут служить:
- любое целое число, например, $7$ (так как его можно представить как $\frac{7}{1}$);
- любая обыкновенная дробь, например, $\frac{1}{2}$;
- любая конечная десятичная дробь, например, $0,25$ (так как $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$);
- любая бесконечная периодическая дробь, например, $0,(3) = 0,333...$ (так как $0,(3) = \frac{1}{3}$).
В качестве конкретного примера приведём число $\frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

б) иррационального числа

Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$. Десятичное представление иррационального числа является бесконечной непериодической дробью, то есть цифры после запятой не повторяются в какой-либо последовательности.
Примерами иррациональных чисел являются:
- корень квадратный из числа, не являющегося полным квадратом, например, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{10}$;
- известные математические константы, такие как число Пи ($\pi \approx 3,14159...$) или число Эйлера ($e \approx 2,71828...$).
В качестве конкретного примера приведём число $\sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$.

269. Верно ли, что:

а) каждое рациональное число является действительным;

б) каждое действительное число является рациональным;

в) каждое иррациональное число является действительным;

г) каждое действительное число является иррациональным?

a) да;

б) нет;

в) да;

г) нет

а) каждое рациональное число является действительным;
Это утверждение верно. По определению, множество действительных (или вещественных) чисел, обозначаемое как $\mathbb{R}$, является объединением множества рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) и множества иррациональных чисел ($\mathbb{I}$). Это означает, что любое рациональное число по определению является действительным. Множество рациональных чисел — это подмножество множества действительных чисел: $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
Ответ: Верно.

б) каждое действительное число является рациональным;
Это утверждение неверно. Множество действительных чисел ($\mathbb{R}$) включает в себя как рациональные, так и иррациональные числа. Существуют действительные числа, которые не являются рациональными. Например, число $\sqrt{2}$ или число $\pi$ являются действительными, но при этом иррациональными, так как их невозможно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Следовательно, не каждое действительное число рационально.
Ответ: Неверно.

в) каждое иррациональное число является действительным;
Это утверждение верно. Аналогично пункту «а», по определению, множество действительных чисел ($\mathbb{R}$) включает в себя все иррациональные числа ($\mathbb{I}$). Любое иррациональное число по определению является действительным. Множество иррациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел: $\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$.
Ответ: Верно.

г) каждое действительное число является иррациональным?
Это утверждение неверно. Как и в пункте «б», это утверждение ложно, потому что множество действительных чисел ($\mathbb{R}$) содержит также и все рациональные числа. Например, число 5 является действительным, но оно рационально (можно представить как $\frac{5}{1}$), а не иррационально. Таким образом, существуют действительные числа, которые не являются иррациональными.
Ответ: Неверно.

270. Среди чисел 17; 0; 0,25; –2,(3); 0,818118111... (число единиц, разделяющих восьмёрки, каждый раз увеличивается на одну); 4,2(51); 217; π укажите рациональные и иррациональные.

Рациональные: $\frac{1}{7};$ 0; 0,25; -2,(3); 4,2(51); 217

Иррациональные: 0,818118111...; π

Для того чтобы разделить данные числа на рациональные и иррациональные, необходимо вспомнить их определения.

Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число (то есть $q \neq 0$). Десятичное представление рационального числа всегда является либо конечной, либо бесконечной периодической дробью.

Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде дроби $\frac{p}{q}$. Его десятичное представление является бесконечной непериодической дробью.

Рассмотрим каждое из предложенных чисел:

• $\frac{1}{7}$ — это число уже записано в виде обыкновенной дроби, следовательно, оно является рациональным.
• $0$ — это целое число, его можно представить как дробь $\frac{0}{1}$, поэтому оно рациональное.
• $0,25$ — это конечная десятичная дробь, которую можно записать как $\frac{25}{100}$ или, после сокращения, $\frac{1}{4}$. Это рациональное число.
• $-2,(3)$ — это бесконечная периодическая десятичная дробь ($-2,333...$). Любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной. В данном случае, $-2,(3) = -2\frac{3}{9} = -2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$. Это рациональное число.
• $0,818118111...$ — это бесконечная десятичная дробь. Согласно описанию, количество единиц между восьмёрками постоянно увеличивается ($818$, $118$, $1118$, и так далее). Это означает, что у дроби нет повторяющегося периода. Следовательно, это бесконечная непериодическая дробь, которая представляет иррациональное число.
• $4,2(51)$ — это смешанная периодическая десятичная дробь ($4,2515151...$). Как и любая периодическая дробь, она является представлением рационального числа. Её можно преобразовать в дробь $\frac{4209}{990}$.
• $217$ — это целое число. Любое целое число $n$ является рациональным, так как его можно записать в виде дроби $\frac{n}{1}$. В данном случае, $217 = \frac{217}{1}$.
• $\pi$ (пи) — это известная математическая константа. Доказано, что число $\pi$ является иррациональным. Его десятичное представление бесконечно и непериодично ($3,14159...$).

Сгруппируем числа по категориям.

Рациональные

К рациональным числам из данного списка относятся: $\frac{1}{7}$; $0$; $0,25$; $-2,(3)$; $4,2(51)$; $217$.

Ответ: $\frac{1}{7}$; $0$; $0,25$; $-2,(3)$; $4,2(51)$; $217$.

Иррациональные

К иррациональным числам из данного списка относятся: $0,818118111...$; $\pi$.

Ответ: $0,818118111...$; $\pi$.

271. Верно ли, что:

a) 7,16∈N-нет; 7,16∈Z-нет; 7,16∈Q-да; 7,16∈R-да

б) 409∈N-да; 409∈Z-да; 409∈Q-да; 409∈R-да

в) π∈N-нет; π∈Z-нет; π∈Q-нет; π∈R-да

а)

Разберем каждое утверждение для числа 7,16.
1. $7,16 \in N$ (принадлежит множеству натуральных чисел). Утверждение неверно. Множество натуральных чисел $N$ состоит из целых положительных чисел, используемых для счета: $N = \{1, 2, 3, ...\}$. Число 7,16 является дробным.
2. $7,16 \in Z$ (принадлежит множеству целых чисел). Утверждение неверно. Множество целых чисел $Z$ включает натуральные числа, им противоположные и ноль: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Число 7,16 не является целым.
3. $7,16 \in Q$ (принадлежит множеству рациональных чисел). Утверждение верно. Рациональные числа $Q$ — это числа, которые можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Число 7,16 является конечной десятичной дробью и может быть представлено как $7,16 = \frac{716}{100} = \frac{179}{25}$.
4. $7,16 \in R$ (принадлежит множеству действительных чисел). Утверждение верно. Множество действительных (вещественных) чисел $R$ включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Поскольку любое рациональное число является действительным ($Q \subset R$), то и $7,16$ является действительным числом.

Ответ: неверно; неверно; верно; верно.

б)

Разберем каждое утверждение для числа 409.
1. $409 \in N$. Утверждение верно. Число 409 — это целое положительное число, поэтому оно является натуральным.
2. $409 \in Z$. Утверждение верно. Множество целых чисел $Z$ включает в себя все натуральные числа ($N \subset Z$), поэтому 409 является и целым числом.
3. $409 \in Q$. Утверждение верно. Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Для 409 это $409 = \frac{409}{1}$. Поскольку множество целых чисел является подмножеством рациональных ($Z \subset Q$), 409 — рациональное число.
4. $409 \in R$. Утверждение верно. Множество действительных чисел $R$ включает в себя все рациональные числа ($Q \subset R$). Так как 409 — рациональное число, оно также является и действительным.

Ответ: верно; верно; верно; верно.

в)

Разберем каждое утверждение для числа $\pi$.
1. $\pi \in N$. Утверждение неверно. Число $\pi$ (пи) — это математическая константа, приблизительно равная $3,14159...$. Оно не является целым, а значит, и не натуральное.
2. $\pi \in Z$. Утверждение неверно. Так как $\pi$ не является целым числом, оно не принадлежит множеству $Z$.
3. $\pi \in Q$. Утверждение неверно. Число $\pi$ является иррациональным. Это означает, что его нельзя представить в виде дроби $p/q$ с целым $p$ и натуральным $q$. Его десятичное представление является бесконечным и непериодическим.
4. $\pi \in R$. Утверждение верно. Множество действительных чисел $R$ является объединением множеств рациональных и иррациональных чисел. Поскольку $\pi$ — иррациональное число, оно по определению входит в множество действительных чисел.

Ответ: неверно; неверно; неверно; верно.

272. Сравните:

а) 7,653... и 7,563...;

б) 0,123... и 0,114...;

в) –48,075... и –48,275...;

г) –1,444... и –1,456... .

a) 7,653...>7,563

б) 0,123...>0,114

в) -48,075...>-48,275

г) -1,444...>-1,456...

а) Сравним бесконечные десятичные дроби $7,653...$ и $7,563...$.

Оба числа являются положительными. Сравнение таких чисел производится поразрядно, слева направо, начиная со старшего разряда (в данном случае, с целой части).

1. Целые части обоих чисел одинаковы и равны $7$.

2. Сравниваем цифры в разряде десятых (первая цифра после запятой). У первого числа это $6$, у второго — $5$.

3. Поскольку $6 > 5$, то первое число больше второго, независимо от всех последующих цифр.

Следовательно, $7,653... > 7,563...$.

Ответ: $7,653... > 7,563...$

б) Сравним бесконечные десятичные дроби $0,123...$ и $0,114...$.

Оба числа положительные. Применяем поразрядное сравнение.

1. Целые части равны $0$.

2. Цифры в разряде десятых также совпадают и равны $1$.

3. Сравниваем цифры в разряде сотых (вторая цифра после запятой). У первого числа это $2$, у второго — $1$.

4. Так как $2 > 1$, то первое число больше второго.

Следовательно, $0,123... > 0,114...$.

Ответ: $0,123... > 0,114...$

в) Сравним отрицательные числа $-48,075...$ и $-48,275...$.

При сравнении двух отрицательных чисел большим является то, модуль которого меньше.

1. Найдем и сравним модули данных чисел: $|-48,075...| = 48,075...$ и $|-48,275...| = 48,275...$.

2. Сравним положительные числа $48,075...$ и $48,275...$ поразрядно.

3. Целые части равны $48$.

4. Цифры в разряде десятых: у первого числа $0$, у второго $2$.

5. Так как $0 < 2$, то $48,075... < 48,275...$.

6. Это означает, что модуль первого исходного числа меньше модуля второго. Следовательно, первое отрицательное число больше второго.

Таким образом, $-48,075... > -48,275...$.

Ответ: $-48,075... > -48,275...$

г) Сравним отрицательные числа $-1,444...$ и $-1,456...$.

Как и в предыдущем пункте, из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше.

1. Сравним модули чисел: $|-1,444...| = 1,444...$ и $|-1,456...| = 1,456...$.

2. Выполним поразрядное сравнение чисел $1,444...$ и $1,456...$.

3. Целые части ($1$) и цифры в разряде десятых ($4$) у них одинаковы.

4. Сравниваем цифры в разряде сотых: у первого числа это $4$, у второго — $5$.

5. Поскольку $4 < 5$, то $1,444... < 1,456...$.

6. Так как модуль первого числа меньше модуля второго, то само первое отрицательное число будет больше второго.

Следовательно, $-1,444... > -1,456...$.

Ответ: $-1,444... > -1,456...$

273. Какое из чисел больше:

a) 1,(56)>1,56, т.к. 1,565656...>1,56

б) -4,(45)<-4,45, т.к. -4,454545...<-4,45

в) $1\frac{2}{3}$<1,6668, т.к. 1,6666...<1,6668

г) -0,228<$-\frac{5}{22}$, т.к. -0,228...<-0,22727....

д) π>3,1415, т.к. 3,141592...>3,1415

е) 3,(14)<π, т.к. 3,141414...<4,141592....

а) 1,(56) или 1,56
Первое число — это периодическая десятичная дробь, которую можно записать как $1,565656...$ Второе число — это конечная десятичная дробь $1,56$, которую для сравнения можно представить как $1,560000...$
Сравним эти числа по разрядам, начиная слева направо:
Целые части равны (1).
Первые два знака после запятой равны (56).
Третий знак после запятой у числа $1,(56)$ — это 5, а у числа $1,56$ — это 0.
Так как $5 > 0$, то $1,565656... > 1,560000...$ .
Следовательно, $1,(56)$ больше, чем $1,56$.
Ответ: $1,(56)$.

б) -4,(45) или -4,45
При сравнении отрицательных чисел большим является то, чей модуль (абсолютная величина) меньше.
Сравним модули этих чисел: $|-4,(45)| = 4,(45)$ и $|-4,45| = 4,45$.
Число $4,(45)$ — это периодическая дробь $4,454545...$
Число $4,45$ — это конечная дробь $4,450000...$
Сравнивая их по разрядам, видим, что $4,4545... > 4,4500...$, так как третья цифра после запятой у первого числа (4) больше, чем у второго (0).
Таким образом, $|-4,(45)| > |-4,45|$.
Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, то число с меньшим модулем будет больше. Значит, $-4,45 > -4,(45)$.
Ответ: $-4,45$.

в) $1\frac{2}{3}$ или 1,6668
Сначала преобразуем смешанную дробь $1\frac{2}{3}$ в десятичную. Для этого разделим 2 на 3: $2 \div 3 = 0,666... = 0,(6)$.
Таким образом, $1\frac{2}{3} = 1,(6) = 1,6666...$
Теперь сравним числа $1,6666...$ и $1,6668$.
Сравним их по разрядам:
Целая часть и первые три знака после запятой совпадают (1,666).
Четвертый знак после запятой у числа $1,6666...$ равен 6, а у числа $1,6668$ равен 8.
Так как $6 < 8$, то $1,6666... < 1,6668$.
Следовательно, $1,6668$ больше, чем $1\frac{2}{3}$.
Ответ: $1,6668$.

г) -0,228 или $-\frac{5}{22}$
При сравнении отрицательных чисел большим является то, чей модуль меньше.
Сравним модули: $|-0,228| = 0,228$ и $|-\frac{5}{22}| = \frac{5}{22}$.
Преобразуем обыкновенную дробь $\frac{5}{22}$ в десятичную, разделив 5 на 22: $5 \div 22 = 0,22727... = 0,2(27)$.
Теперь сравним десятичные дроби $0,228$ и $0,2(27)$.
$0,228 = 0,2280...$
$0,2(27) = 0,2272...$
Сравнивая по разрядам, видим, что третья цифра после запятой у первого числа (8) больше, чем у второго (7).
Следовательно, $0,228 > 0,2(27)$, что означает $|-0,228| > |-\frac{5}{22}|$.
Так как мы сравниваем отрицательные числа, то число с меньшим модулем будет больше. Значит, $-\frac{5}{22} > -0,228$.
Ответ: $-\frac{5}{22}$.

д) $\pi$ или 3,1415
Число $\pi$ (пи) — это иррациональное число, его приближенное значение с большим количеством знаков: $\pi \approx 3,14159265...$
Сравниваем число $\pi \approx 3,14159...$ и число $3,1415$.
Сравним по разрядам:
Целая часть и первые четыре знака после запятой совпадают (3,1415).
Пятый знак после запятой у числа $\pi$ — это 9, а у числа $3,1415$ (которое можно записать как $3,14150...$) — это 0.
Так как $9 > 0$, то $\pi > 3,1415$.
Ответ: $\pi$.

е) 3,(14) или $\pi$
Первое число — это периодическая дробь $3,(14) = 3,141414...$
Второе число — это $\pi \approx 3,14159265...$
Сравним эти числа по разрядам:
Целая часть и первые три знака после запятой совпадают (3,141).
Четвертый знак после запятой у числа $3,(14)$ равен 4, а у числа $\pi$ равен 5.
Так как $4 < 5$, то $3,(14) < \pi$.
Следовательно, $\pi$ больше, чем $3,(14)$.
Ответ: $\pi$.