Номер 273, страница 68 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Действительные числа. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 273, страница 68.

273. Какое из чисел больше:

a) 1,(56)>1,56, т.к. 1,565656...>1,56

б) -4,(45)<-4,45, т.к. -4,454545...<-4,45

в) $1\frac{2}{3}$<1,6668, т.к. 1,6666...<1,6668

г) -0,228<$-\frac{5}{22}$, т.к. -0,228...<-0,22727....

д) π>3,1415, т.к. 3,141592...>3,1415

е) 3,(14)<π, т.к. 3,141414...<4,141592....

а) 1,(56) или 1,56
Первое число — это периодическая десятичная дробь, которую можно записать как $1,565656...$ Второе число — это конечная десятичная дробь $1,56$, которую для сравнения можно представить как $1,560000...$
Сравним эти числа по разрядам, начиная слева направо:
Целые части равны (1).
Первые два знака после запятой равны (56).
Третий знак после запятой у числа $1,(56)$ — это 5, а у числа $1,56$ — это 0.
Так как $5 > 0$, то $1,565656... > 1,560000...$ .
Следовательно, $1,(56)$ больше, чем $1,56$.
Ответ: $1,(56)$.

б) -4,(45) или -4,45
При сравнении отрицательных чисел большим является то, чей модуль (абсолютная величина) меньше.
Сравним модули этих чисел: $|-4,(45)| = 4,(45)$ и $|-4,45| = 4,45$.
Число $4,(45)$ — это периодическая дробь $4,454545...$
Число $4,45$ — это конечная дробь $4,450000...$
Сравнивая их по разрядам, видим, что $4,4545... > 4,4500...$, так как третья цифра после запятой у первого числа (4) больше, чем у второго (0).
Таким образом, $|-4,(45)| > |-4,45|$.
Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, то число с меньшим модулем будет больше. Значит, $-4,45 > -4,(45)$.
Ответ: $-4,45$.

в) $1\frac{2}{3}$ или 1,6668
Сначала преобразуем смешанную дробь $1\frac{2}{3}$ в десятичную. Для этого разделим 2 на 3: $2 \div 3 = 0,666... = 0,(6)$.
Таким образом, $1\frac{2}{3} = 1,(6) = 1,6666...$
Теперь сравним числа $1,6666...$ и $1,6668$.
Сравним их по разрядам:
Целая часть и первые три знака после запятой совпадают (1,666).
Четвертый знак после запятой у числа $1,6666...$ равен 6, а у числа $1,6668$ равен 8.
Так как $6 < 8$, то $1,6666... < 1,6668$.
Следовательно, $1,6668$ больше, чем $1\frac{2}{3}$.
Ответ: $1,6668$.

г) -0,228 или $-\frac{5}{22}$
При сравнении отрицательных чисел большим является то, чей модуль меньше.
Сравним модули: $|-0,228| = 0,228$ и $|-\frac{5}{22}| = \frac{5}{22}$.
Преобразуем обыкновенную дробь $\frac{5}{22}$ в десятичную, разделив 5 на 22: $5 \div 22 = 0,22727... = 0,2(27)$.
Теперь сравним десятичные дроби $0,228$ и $0,2(27)$.
$0,228 = 0,2280...$
$0,2(27) = 0,2272...$
Сравнивая по разрядам, видим, что третья цифра после запятой у первого числа (8) больше, чем у второго (7).
Следовательно, $0,228 > 0,2(27)$, что означает $|-0,228| > |-\frac{5}{22}|$.
Так как мы сравниваем отрицательные числа, то число с меньшим модулем будет больше. Значит, $-\frac{5}{22} > -0,228$.
Ответ: $-\frac{5}{22}$.

д) $\pi$ или 3,1415
Число $\pi$ (пи) — это иррациональное число, его приближенное значение с большим количеством знаков: $\pi \approx 3,14159265...$
Сравниваем число $\pi \approx 3,14159...$ и число $3,1415$.
Сравним по разрядам:
Целая часть и первые четыре знака после запятой совпадают (3,1415).
Пятый знак после запятой у числа $\pi$ — это 9, а у числа $3,1415$ (которое можно записать как $3,14150...$) — это 0.
Так как $9 > 0$, то $\pi > 3,1415$.
Ответ: $\pi$.

е) 3,(14) или $\pi$
Первое число — это периодическая дробь $3,(14) = 3,141414...$
Второе число — это $\pi \approx 3,14159265...$
Сравним эти числа по разрядам:
Целая часть и первые три знака после запятой совпадают (3,141).
Четвертый знак после запятой у числа $3,(14)$ равен 4, а у числа $\pi$ равен 5.
Так как $4 < 5$, то $3,(14) < \pi$.
Следовательно, $\pi$ больше, чем $3,(14)$.
Ответ: $\pi$.