Номер 267, страница 63 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 267, страница 63.

267. Могут ли графики функций y =kx (k ≠ 0) и y = ax + b пересекаться в двух точках, лежащих:

а) в одной четверти;

б) в первой и второй четвертях;

в) в первой и третьей четвертях?

$y=\frac{k}{x} (k\ne 0), y=ax+b$

a)

Ответ: да

б) График функции $y=\frac{k}{x}$ и y=kx+b пересекаться в двух точках, лежащих в первой и второй четверти, не могут, так как график функции $y=\frac{k}{x}$ лежит либо в I и III четверти, либо во II и IV

Ответ: нет

в)

Ответ: да

Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = \frac{k}{x}$ и $y = ax + b$ необходимо решить систему уравнений. Приравняв правые части, получим:

$\frac{k}{x} = ax + b$

Поскольку $x \neq 0$ (так как $x$ в знаменателе), мы можем умножить обе части на $x$:

$k = ax^2 + bx$

$ax^2 + bx - k = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Графики могут пересекаться в двух точках, если это уравнение имеет два различных действительных корня. Это происходит, когда дискриминант $D$ больше нуля. Для двух корней также необходимо, чтобы $a \neq 0$, иначе уравнение будет линейным и будет иметь не более одного корня.

$D = b^2 - 4a(-k) = b^2 + 4ak > 0$

Теперь рассмотрим каждый случай.

а) в одной четверти;

Да, могут. Две точки пересечения могут лежать в одной координатной четверти. Рассмотрим, например, случай, когда обе точки находятся в I четверти. Для этого необходимо, чтобы оба корня $x_1$ и $x_2$ квадратного уравнения $ax^2 + bx - k = 0$ были положительными, и соответствующие значения $y_1$ и $y_2$ также были положительными.

Для I четверти: $x > 0$ и $y > 0$. Из уравнения гиперболы $y = k/x$ следует, что если $x > 0$ и $y > 0$, то $k$ должен быть положительным ($k > 0$).

Итак, пусть $k > 0$. Нам нужно, чтобы уравнение $ax^2 + bx - k = 0$ имело два различных положительных корня. По теореме Виета, для этого должны выполняться условия:

1. Дискриминант $D = b^2 + 4ak > 0$.
2. Произведение корней $x_1 x_2 = \frac{-k}{a} > 0$.
3. Сумма корней $x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} > 0$.

Из условия $x_1 x_2 > 0$ и $k > 0$ следует, что $\frac{-k}{a} > 0 \Rightarrow a < 0$.
Из условия $x_1 + x_2 > 0$ и $a < 0$ следует, что $\frac{-b}{a} > 0 \Rightarrow -b < 0 \Rightarrow b > 0$.
Условие на дискриминант $D = b^2 + 4ak > 0$ должно выполняться. Поскольку $a < 0$ и $k > 0$, то $4ak < 0$. Значит, нам нужно, чтобы $b^2 > -4ak$. Это возможно.

Пример: пусть $k=2$, $a=-1$, $b=3$.
Гипербола: $y = \frac{2}{x}$. Прямая: $y = -x + 3$.
Уравнение для точек пересечения: $-x^2 + 3x - 2 = 0$, или $x^2 - 3x + 2 = 0$.
Корни: $x_1 = 1, x_2 = 2$. Оба корня положительны.
Точки пересечения:
При $x_1 = 1$, $y_1 = \frac{2}{1} = 2$. Точка $(1, 2)$ находится в I четверти.
При $x_2 = 2$, $y_2 = \frac{2}{2} = 1$. Точка $(2, 1)$ находится в I четверти.
Таким образом, пересечение в двух точках в одной четверти возможно.

Ответ: да, могут.

б) в первой и второй четвертях;

Нет, не могут. График функции $y = k/x$ (гипербола) имеет две ветви.

• Если $k > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. В этом случае не может быть точек пересечения во II четверти.
• Если $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. В этом случае не может быть точек пересечения в I четверти.

Поскольку для одной функции $y = k/x$ коэффициент $k$ является постоянной величиной, ее график не может одновременно находиться в I и II четвертях. Следовательно, прямая не может пересечь гиперболу в точках, лежащих одновременно в I и II четвертях.

Ответ: нет, не могут.

в) в первой и третьей четвертях?

Да, могут. Чтобы точки пересечения находились в I и III четвертях, ветви гиперболы $y = k/x$ должны располагаться именно в этих четвертях. Это выполняется при $k > 0$.

Точка в I четверти имеет координаты $(x_1, y_1)$, где $x_1 > 0$ и $y_1 > 0$.
Точка в III четверти имеет координаты $(x_2, y_2)$, где $x_2 < 0$ и $y_2 < 0$.

Нам нужно, чтобы уравнение $ax^2 + bx - k = 0$ (при $k > 0$) имело два корня с разными знаками: один положительный ($x_1$) и один отрицательный ($x_2$).

Для этого необходимо и достаточно, чтобы произведение корней было отрицательным (дискриминант в этом случае всегда будет положительным, если $a \neq 0$).
По теореме Виета, произведение корней $x_1 x_2 = \frac{-k}{a}$.

Условие: $x_1 x_2 < 0 \Rightarrow \frac{-k}{a} < 0$.
Так как мы определили, что $k > 0$, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы $a$ было положительным ($a > 0$).
При этом дискриминант $D = b^2 + 4ak$ будет всегда положительным, так как $b^2 \ge 0$, а $4ak > 0$. Это гарантирует наличие двух различных корней.

Пример: пусть $k=4$, $a=1$, $b=0$.
Гипербола: $y = \frac{4}{x}$. Прямая: $y = x$.
Уравнение для точек пересечения: $x^2 + 0x - 4 = 0$, или $x^2 = 4$.
Корни: $x_1 = 2, x_2 = -2$.
Точки пересечения:
При $x_1 = 2$, $y_1 = \frac{4}{2} = 2$. Точка $(2, 2)$ находится в I четверти.
При $x_2 = -2$, $y_2 = \frac{4}{-2} = -2$. Точка $(-2, -2)$ находится в III четверти.

Ответ: да, могут.