Номер 263, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 263, страница 62.

263. Постройте график функции:

a) $y=\frac{\left|2x-18\right|}{x-9}$

$x-9\ne 0; x\ne 9$

Область определения функции: все числа, кроме 9

если 2x-18>0, то $y=\frac{2x-18}{x-9}$

$y=\frac{2(x-9)}{x-9}; y=2$ при 2x>18; x>9

если 2x-18<0, то $y=-\frac{2x-18}{x-9}$

$y=-\frac{2(x-9)}{x-9}; y=-2$ при 2x<18; x<9

б) $y=\frac{\left|x+3\right|}{3x+9}$

$3x+9\ne 0; 3x\ne -9; x\ne -3$

Область определения функции: все числа, кроме -3

если x+3>0, x>-3 то $y=\frac{x+3}{3x+9}; y=\frac{x+3}{3(x+3)}; y=\frac{1}{3}$

если x+3<0, x<-3 то $y=-\frac{x+3}{3x+9}; y=-\frac{x+3}{3(x+3)}; y=-\frac{1}{3}$

а) $y = \frac{|2x - 18|}{x - 9}$

1. Найдём область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$x - 9 \neq 0 \implies x \neq 9$.

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 9) \cup (9; +\infty)$. В точке $x=9$ будет разрыв.

2. Раскроем модуль в числителе. Для этого рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

Нуль подмодульного выражения: $2x - 18 = 0 \implies 2x = 18 \implies x = 9$.

Случай 1: Если $2x - 18 > 0$, то есть $x > 9$.

В этом случае $|2x - 18| = 2x - 18$. Подставим это в исходную функцию:

$y = \frac{2x - 18}{x - 9} = \frac{2(x - 9)}{x - 9} = 2$.

Таким образом, при $x > 9$ график функции представляет собой луч прямой $y = 2$.

Случай 2: Если $2x - 18 < 0$, то есть $x < 9$.

В этом случае $|2x - 18| = -(2x - 18) = -2x + 18$. Подставим это в исходную функцию:

$y = \frac{-(2x - 18)}{x - 9} = \frac{-2(x - 9)}{x - 9} = -2$.

Таким образом, при $x < 9$ график функции представляет собой луч прямой $y = -2$.

3. Построение графика.

График данной функции состоит из двух горизонтальных лучей. Так как функция не определена в точке $x=9$, на концах лучей будут "выколотые" точки.

• Луч $y = -2$ для всех $x$ из интервала $(-\infty, 9)$. Начало луча в выколотой точке $(9, -2)$.
• Луч $y = 2$ для всех $x$ из интервала $(9, +\infty)$. Начало луча в выколотой точке $(9, 2)$.

Ответ: График функции состоит из двух горизонтальных лучей: $y = -2$ при $x < 9$ и $y = 2$ при $x > 9$. Точки $(9, -2)$ и $(9, 2)$ выколотые.

---

б) $y = \frac{|x + 3|}{3x + 9}$

1. Найдём область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$3x + 9 \neq 0 \implies 3x \neq -9 \implies x \neq -3$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$. Точка $x=-3$ является точкой разрыва.

2. Раскроем модуль в числителе, рассмотрев два случая.

Нуль подмодульного выражения: $x + 3 = 0 \implies x = -3$.

Случай 1: Если $x + 3 > 0$, то есть $x > -3$.

В этом случае $|x + 3| = x + 3$. Функция принимает вид:

$y = \frac{x + 3}{3x + 9} = \frac{x + 3}{3(x + 3)} = \frac{1}{3}$.

При $x > -3$ график функции — это луч прямой $y = \frac{1}{3}$.

Случай 2: Если $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$.

В этом случае $|x + 3| = -(x + 3)$. Функция принимает вид:

$y = \frac{-(x + 3)}{3x + 9} = \frac{-(x + 3)}{3(x + 3)} = -\frac{1}{3}$.

При $x < -3$ график функции — это луч прямой $y = -\frac{1}{3}$.

3. Построение графика.

График состоит из двух горизонтальных лучей. Точка с абсциссой $x=-3$ не входит в область определения, поэтому на графике будут выколотые точки.

• Луч $y = -\frac{1}{3}$ для всех $x$ из интервала $(-\infty, -3)$. Начало луча в выколотой точке $(-3, -\frac{1}{3})$.
• Луч $y = \frac{1}{3}$ для всех $x$ из интервала $(-3, +\infty)$. Начало луча в выколотой точке $(-3, \frac{1}{3})$.

Ответ: График функции состоит из двух горизонтальных лучей: $y = -\frac{1}{3}$ при $x < -3$ и $y = \frac{1}{3}$ при $x > -3$. Точки $(-3, -\frac{1}{3})$ и $(-3, \frac{1}{3})$ выколотые.