Номер 261, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

261. Постройте график функции y = - 4 -x + 2x² + 2x. Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком общих точек.

$y=-4-\frac{x+2}{x^2+2x}$

$$\begin{gathered} -4-\frac{x+2}{x^2+2x}=-4-\frac{x+2}{x(x+2)}= \\ =\frac{-4x(x+2)-(x+2)}{x(x+2)}=\frac{-4x^2-8x-x-2}{x(x+2)}= \\ =\frac{-4x^2-9x-2}{x(x+2)}=\frac{-4x^2-8x-x-2}{x(x+2)}= \\ =\frac{-4x(x+2)-(x+2)}{x(x+2)}=\frac{(x+2)(-4x-1)}{x(x+2)}= \\ =\frac{-4x-1}{x}=-\frac{4x}{x}-\frac{1}{x}=-4-\frac{1}{x} \\ y=-4-\frac{1}{x} \\ {x}^2+2x\ne 0 \\ x(x+2)\ne 0 \\ \left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x+2\ne 0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x\ne -2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Область определения функции: все числа, кроме -2 и 0.

$y=-4-\frac{1}{x}$

Прямая y=m не имеет с графиком общих точек при m=-4 и при m=-3,5 (если x=-2, то $y=-4-\frac{1}{-2};$ y=-4+0,5; y=-3,5)

1. Упростим выражение правой части функции:
$y = -4 - \frac{x + 2}{x^2 + 2x}$

Разложим знаменатель дроби на множители, вынеся общие множители за скобки:
$x^2 + 2x = x(x + 2)$

Тогда функция принимает вид:
$y = -4 - \frac{x + 2}{x(x + 2)}$

Сократим дробь на $(x + 2)$ при условии, что $x + 2 \neq 0$ (то есть $x \neq -2$):
$y = -4 - \frac{1}{x}$ или $y = -\frac{1}{x} - 4$

2. Найдём область определения исходной функции:
Исходный знаменатель не должен быть равен нулю: $x(x + 2) \neq 0$, откуда получаем ограничения: $x \neq 0$ и $x \neq -2$.
Поэтому на графике гиперболы будет «выколотая» точка с абсциссой $x = -2$.
Найдём ординату этой точки:
$y(-2) = -4 - \frac{1}{-2} = -4 - (-0,5) = -3,5$
Таким образом, точка $(-2; -3,5)$ является «выколотой».

3. Описание графика:
Графиком функции является гипербола $y = -\frac{1}{x}$, сдвинутая вдоль оси $y$ вниз на $4$ единицы, с выколотой точкой $(-2; -3,5)$.
Горизонтальной асимптотой графика является прямая $y = -4$.

4. Ответим на второй вопрос задачи: при каких значениях $m$ прямая $y = m$ не имеет с графиком общих точек.
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Она не будет иметь общих точек с графиком в двух случаях:
1) Когда она совпадает с горизонтальной асимптотой гиперболы: $m = -4$.
2) Когда она проходит через «выколотую» точку графика, так как сама эта точка удалена из области определения: $m = -3,5$.

Ответ: при $m = -4$ и $m = -3,5$.