Номер 261, страница 62 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 261, страница 62.

261. Постройте график функции y = - 4 -x + 2x² + 2x. Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком общих точек.

$y=-4-\frac{x+2}{x^2+2x}$

$$\begin{gathered} -4-\frac{x+2}{x^2+2x}=-4-\frac{x+2}{x(x+2)}= \\ =\frac{-4x(x+2)-(x+2)}{x(x+2)}=\frac{-4x^2-8x-x-2}{x(x+2)}= \\ =\frac{-4x^2-9x-2}{x(x+2)}=\frac{-4x^2-8x-x-2}{x(x+2)}= \\ =\frac{-4x(x+2)-(x+2)}{x(x+2)}=\frac{(x+2)(-4x-1)}{x(x+2)}= \\ =\frac{-4x-1}{x}=-\frac{4x}{x}-\frac{1}{x}=-4-\frac{1}{x} \\ y=-4-\frac{1}{x} \\ {x}^2+2x\ne 0 \\ x(x+2)\ne 0 \\ \left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x+2\ne 0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{c}x\ne 0\\ x\ne -2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Область определения функции: все числа, кроме -2 и 0.

$y=-4-\frac{1}{x}$

x	1	2	5	-1	-2,5	-5	0,5	-0,5
y	-5	-4,5	-4,2	-3	-3,6	-3,8	-6	-2

Прямая y=m не имеет с графиком общих точек при m=-4 и при m=-3,5 (если x=-2, то $y=-4-\frac{1}{-2};$ y=-4+0,5; y=-3,5)

Построение графика

Для построения графика функции $y = -4 - \frac{x+2}{x^2+2x}$ сначала найдем ее область определения и упростим выражение.

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x^2+2x \neq 0$ $x(x+2) \neq 0$ Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

Теперь упростим функцию для всех $x$ из области определения. Так как $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на $(x+2)$:

$y = -4 - \frac{x+2}{x(x+2)} = -4 - \frac{1}{x}$

Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{1}{x} - 4$ при условиях $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

График функции $y = -\frac{1}{x} - 4$ — это гипербола. Она получена из графика стандартной гиперболы $y = -\frac{1}{x}$ (ветви в II и IV координатных четвертях) путем сдвига на 4 единицы вниз вдоль оси Oy.

Свойства графика:

• Вертикальная асимптота: $x=0$.
• Горизонтальная асимптота: $y=-4$.

Учтем ограничение $x \neq -2$. Это означает, что на графике есть выколотая точка. Найдем ее координаты, подставив $x = -2$ в уравнение упрощенной функции:

$y(-2) = -4 - \frac{1}{-2} = -4 + 0.5 = -3.5$

Следовательно, точка с координатами $(-2; -3.5)$ на графике отсутствует (выколота).

Ответ: График функции является гиперболой $y = -\frac{1}{x} - 4$ с выколотой точкой $(-2; -3.5)$. Вертикальная асимптота графика — прямая $x=0$, горизонтальная асимптота — прямая $y=-4$.

Определение значений m

Прямая $y=m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно определить, при каких значениях $m$ эта прямая не имеет с построенным графиком общих точек.

Исходя из свойств графика:

1. График функции не пересекает свою горизонтальную асимптоту. Уравнение асимптоты — $y=-4$. Следовательно, при $m=-4$ прямая $y=m$ не имеет с графиком общих точек.
2. На графике есть выколотая точка $(-2; -3.5)$. Это значит, что точка с ординатой $-3.5$ на графике отсутствует. Прямая $y=-3.5$ проходит через эту "дырку". Проверим, пересекает ли эта прямая график в других точках. Для этого решим уравнение: $-3.5 = -4 - \frac{1}{x}$ $0.5 = -\frac{1}{x}$ $x = -\frac{1}{0.5} = -2$ Решение показывает, что единственная точка на полной гиперболе (без выкалывания) с ординатой $-3.5$ имеет абсциссу $x=-2$. Поскольку эта точка исключена из нашего графика, прямая $y=-3.5$ не имеет с ним общих точек.

При любых других значениях $m$ прямая $y=m$ будет пересекать одну из ветвей гиперболы ровно в одной точке.

Ответ: $m=-4; m=-3.5$.