Страница 74 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

306. Найдите значение переменной х, при котором верно равенство:

a) $\sqrt{3+5x}=7$

3+5x=49

5x=49-3

5x=46

x=9,2

Ответ: 9,2

б) $\sqrt{10x-14}=11$

10x-14=121

10x=135

x=13,5

Ответ: 13,5

в) $\sqrt{\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}}=0$

$$\begin{gathered} \frac{1}{3}x-\frac{1}{2}=0 \\ \frac{1}{3}x=\frac{1}{2} \\ x=\frac{1}{2}:\frac{1}{3} \\ x=\frac{1}{2}·\frac{3}{1} \\ x=1,5 \end{gathered}$$

Ответ: 1,5

а)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt{3+5x} = 7$.

Чтобы найти $x$, необходимо избавиться от знака квадратного корня. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат. Это преобразование является равносильным, так как обе части уравнения неотрицательны (арифметический квадратный корень по определению больше или равен нулю, а $7>0$).

$(\sqrt{3+5x})^2 = 7^2$

В левой части корень и возведение в квадрат взаимно уничтожаются:

$3+5x = 49$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем число 3 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$5x = 49 - 3$

$5x = 46$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x = \frac{46}{5}$

$x = 9.2$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$\sqrt{3+5 \cdot 9.2} = \sqrt{3+46} = \sqrt{49} = 7$

Так как $7 = 7$, равенство верное, и решение найдено правильно.

Ответ: $x=9.2$

б)

Дано уравнение $\sqrt{10x-14} = 11$.

Аналогично предыдущему пункту, возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны:

$(\sqrt{10x-14})^2 = 11^2$

$10x-14 = 121$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем -14 в правую часть, изменив знак:

$10x = 121 + 14$

$10x = 135$

Разделим обе части уравнения на 10:

$x = \frac{135}{10}$

$x = 13.5$

Выполним проверку:

$\sqrt{10 \cdot 13.5 - 14} = \sqrt{135 - 14} = \sqrt{121} = 11$

Так как $11 = 11$, равенство верное.

Ответ: $x=13.5$

в)

Дано уравнение $\sqrt{\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}} = 0$.

Арифметический квадратный корень равен нулю тогда и только тогда, когда выражение под корнем равно нулю. Поэтому данное уравнение равносильно следующему:

$\frac{1}{3}x - \frac{1}{2} = 0$

Решим это линейное уравнение. Перенесем дробь $-\frac{1}{2}$ в правую часть уравнения:

$\frac{1}{3}x = \frac{1}{2}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{1}{2} \cdot 3$

$x = \frac{3}{2}$

$x = 1.5$

Выполним проверку, подставив $x=1.5$ в исходное уравнение:

$\sqrt{\frac{1}{3} \cdot 1.5 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1.5}{3} - \frac{1}{2}} = \sqrt{0.5 - 0.5} = \sqrt{0} = 0$

Так как $0 = 0$, равенство верное.

Ответ: $x=1.5$

307. Решите уравнение:

a) $\sqrt{3x-1}=1$

$$\begin{gathered} 3x-1=1 \\ 3x=2 \\ x=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{2}{3}$

б) $\sqrt{6x+4}=2$

$$\begin{gathered} 6x+4=4 \\ 6x=0 \\ x=0 \end{gathered}$$

Ответ: 0

в) $\sqrt{12-x}=6$

$$\begin{gathered} 12-x=36 \\ x=12-36 \\ x=-24 \end{gathered}$$

Ответ: -24

г) $\sqrt{8x-1}=1$

$$\begin{gathered} 8x-1=1 \\ 8x=2 \\ x=\frac{2}{8} \\ x=\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Ответ: $\frac{1}{4}$

а) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{3x - 1} = 1$.

Для решения такого уравнения необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Это называется Областью допустимых значений (ОДЗ).

$3x - 1 \ge 0$

$3x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{3}$

Теперь, чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x - 1})^2 = 1^2$

$3x - 1 = 1$

Решим полученное линейное уравнение:

$3x = 1 + 1$

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = \frac{2}{3}$ условию ОДЗ $x \ge \frac{1}{3}$. Так как $\frac{2}{3} \ge \frac{1}{3}$, корень является решением уравнения.

Ответ: $x = \frac{2}{3}$.

б) Дано уравнение $\sqrt{6x + 4} = 2$.

Найдем ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю:

$6x + 4 \ge 0$

$6x \ge -4$

$x \ge -\frac{4}{6}$

$x \ge -\frac{2}{3}$

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{6x + 4})^2 = 2^2$

$6x + 4 = 4$

Решим уравнение:

$6x = 4 - 4$

$6x = 0$

$x = 0$

Проверим корень по ОДЗ. Так как $0 \ge -\frac{2}{3}$, найденное значение $x=0$ является решением.

Ответ: $x = 0$.

в) Дано уравнение $\sqrt{12 - x} = 6$.

Определим ОДЗ для данного уравнения:

$12 - x \ge 0$

$12 \ge x$ или $x \le 12$

Возведем в квадрат обе части уравнения:

$(\sqrt{12 - x})^2 = 6^2$

$12 - x = 36$

Решим полученное уравнение:

$-x = 36 - 12$

$-x = 24$

$x = -24$

Проверим, соответствует ли корень ОДЗ. Условие $x \le 12$ выполняется, так как $-24 \le 12$. Следовательно, решение верно.

Ответ: $x = -24$.

г) Дано уравнение $\sqrt{8x - 1} = 1$.

Найдем ОДЗ, потребовав, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$8x - 1 \ge 0$

$8x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{8}$

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{8x - 1})^2 = 1^2$

$8x - 1 = 1$

Решаем полученное линейное уравнение:

$8x = 1 + 1$

$8x = 2$

$x = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Проверим корень на соответствие ОДЗ. Условие $x \ge \frac{1}{8}$ выполняется, так как $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$, и $\frac{2}{8} \ge \frac{1}{8}$. Значит, корень найден правильно.

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

308. Найдите корни уравнения:

a) $\sqrt{12+x}-7=3$

$$\begin{gathered} \sqrt{12+x}=10 \\ 12+x=100 \\ x=100-12 \\ x=88 \end{gathered}$$

Ответ: 88

б) $\sqrt{5x-1}-4=6$

$$\begin{gathered} \sqrt{5x-1}=10 \\ 5x-1=100 \\ 5x=101 \\ x=20,2 \end{gathered}$$

Ответ: 20,2

в) $16-\sqrt{x-2}=7$

$$\begin{gathered} \sqrt{x-2}=9 \\ x-2=81 \\ x=83 \end{gathered}$$

Ответ: 83

г) $12-\sqrt{3-6x}=-2$

$$\begin{gathered} \sqrt{3-6x}=14 \\ 3-6x=196 \\ 6x=-193 \\ x=-\frac{193}{6} \\ x=-32\frac{1}{6} \end{gathered}$$

Ответ: $-32\frac{1}{6}$

а)

Дано уравнение: $\sqrt{12+x} - 7 = 3$.

Чтобы решить уравнение, сначала изолируем радикал. Для этого перенесем $-7$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$\sqrt{12+x} = 3 + 7$

$\sqrt{12+x} = 10$

Теперь, чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{12+x})^2 = 10^2$

$12 + x = 100$

Осталось найти $x$, перенеся $12$ в правую часть:

$x = 100 - 12$

$x = 88$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$\sqrt{12+88} - 7 = \sqrt{100} - 7 = 10 - 7 = 3$.

$3 = 3$. Корень найден верно.

Ответ: $88$

б)

Дано уравнение: $\sqrt{5x-1} - 4 = 6$.

Изолируем радикал, перенеся $-4$ в правую часть:

$\sqrt{5x-1} = 6 + 4$

$\sqrt{5x-1} = 10$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{5x-1})^2 = 10^2$

$5x - 1 = 100$

Решим полученное линейное уравнение:

$5x = 100 + 1$

$5x = 101$

$x = \frac{101}{5}$

$x = 20.2$

Проверка: $\sqrt{5 \cdot 20.2 - 1} - 4 = \sqrt{101 - 1} - 4 = \sqrt{100} - 4 = 10 - 4 = 6$.

$6 = 6$. Корень найден верно.

Ответ: $20.2$

в)

Дано уравнение: $16 - \sqrt{x-2} = 7$.

Изолируем радикал. Удобнее перенести радикал вправо, а число $7$ влево:

$16 - 7 = \sqrt{x-2}$

$9 = \sqrt{x-2}$

Возведем обе части в квадрат:

$9^2 = (\sqrt{x-2})^2$

$81 = x - 2$

Найдем $x$:

$x = 81 + 2$

$x = 83$

Проверка: $16 - \sqrt{83-2} = 16 - \sqrt{81} = 16 - 9 = 7$.

$7 = 7$. Корень найден верно.

Ответ: $83$

г)

Дано уравнение: $12 - \sqrt{3-6x} = -2$.

Изолируем радикал, перенеся его в правую часть, а $-2$ в левую:

$12 + 2 = \sqrt{3-6x}$

$14 = \sqrt{3-6x}$

Возведем обе части в квадрат:

$14^2 = (\sqrt{3-6x})^2$

$196 = 3 - 6x$

Решим уравнение относительно $x$:

$6x = 3 - 196$

$6x = -193$

$x = -\frac{193}{6}$

Проверка: $12 - \sqrt{3 - 6(-\frac{193}{6})} = 12 - \sqrt{3 + 193} = 12 - \sqrt{196} = 12 - 14 = -2$.

$-2 = -2$. Корень найден верно.

Ответ: $-\frac{193}{6}$

309. Найдите значение выражения 1,5x³y² ∙ 6,2xy, если x = 1,25, y = 4.

$1,5x^3{y}^2·6,2xy=9,3x^4{y}^3$

если x=1,25, y=4, то

$$\begin{gathered} 9,3·{(1,25)}^4·4^3=9,3·{\left(1\frac{1}{4}\right)}^4·64=595,2·{\left(\frac{5}{4}\right)}^4= \\ =595,2·\frac{625}{256}=2,325·625=1453,125 \end{gathered}$$

Чтобы найти значение данного выражения, сначала целесообразно его упростить, а затем подставлять числовые значения переменных.
Исходное выражение: $1,5x^3y^2 \cdot 6,2xy$.
Упрощение выражения заключается в перемножении числовых коэффициентов и степеней с одинаковыми основаниями.
1. Перемножим числовые коэффициенты: $1,5 \cdot 6,2 = 9,3$.
2. Перемножим степени с основанием $x$, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $x^3 \cdot x = x^{3+1} = x^4$.
3. Перемножим степени с основанием $y$: $y^2 \cdot y = y^{2+1} = y^3$.
Объединив результаты, получаем упрощенное выражение: $9,3x^4y^3$.
Теперь подставим в него заданные значения $x = 1,25$ и $y = 4$.
$9,3 \cdot (1,25)^4 \cdot 4^3$
Для облегчения вычислений представим десятичную дробь $1,25$ в виде обыкновенной дроби: $1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$.
Подставим это значение в наше выражение:
$9,3 \cdot (\frac{5}{4})^4 \cdot 4^3$
Теперь воспользуемся свойствами степеней. Сначала раскроем скобки: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
$9,3 \cdot \frac{5^4}{4^4} \cdot 4^3$
Сократим степени с основанием 4, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$9,3 \cdot \frac{5^4}{4^{4-3}} = 9,3 \cdot \frac{5^4}{4^1} = 9,3 \cdot \frac{5^4}{4}$
Вычислим значение $5^4$:
$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 = 625$.
Подставим это значение обратно в выражение:
$9,3 \cdot \frac{625}{4}$
Выполним оставшиеся действия:
$\frac{9,3 \cdot 625}{4} = \frac{5812,5}{4} = 1453,125$.
Ответ: 1453,125.

310. Найдите:

а) |x|, если x = 10; 0,3; 0; –2,7; –9;

б) x, если |x| = 6; 3,2; 0.

a) если x=10, то |x|=|10|=10

если x=0,3, то |x|=|0,3|=0,3

если x=0, то |x|=|0|=0

если x=-2,7, то |x|=|-2,7|=2,7

если x=-9, то |x|=|-9|=9

б) если |x|=6, то x=6 или x=-6

если |x|=3,2, то x=3,2 или x=-3,2

если |x|=0, то x=0

а) Модуль (или абсолютная величина) числа, обозначаемый как $|x|$, равен самому числу, если оно неотрицательное (больше или равно нулю), и равен противоположному числу, если оно отрицательное. Другими словами, модуль числа — это всегда неотрицательная величина.

Найдем модуль для каждого из заданных значений $x$:

Если $x = 10$, то $|x| = |10| = 10$.

Если $x = 0,3$, то $|x| = |0,3| = 0,3$.

Если $x = 0$, то $|x| = |0| = 0$.

Если $x = -2,7$, то $|x| = |-2,7| = 2,7$.

Если $x = -9$, то $|x| = |-9| = 9$.

Ответ: 10; 0,3; 0; 2,7; 9.

б) В этой части задачи необходимо найти все возможные значения $x$, зная его модуль $|x|$.

Если модуль числа равен некоторому положительному числу $a$, то исходное число может быть как $a$, так и $-a$. Если модуль равен нулю, то и само число равно нулю.

Рассмотрим каждый случай:

Если $|x| = 6$, то существуют два числа, модуль которых равен 6. Это $6$ и $-6$. Значит, $x = 6$ или $x = -6$. Это можно записать одним выражением: $x = \pm 6$.

Если $|x| = 3,2$, то, аналогично предыдущему случаю, $x$ может быть равен $3,2$ или $-3,2$. Значит, $x = \pm 3,2$.

Если $|x| = 0$, то существует только одно число, модуль которого равен нулю. Это число 0. Значит, $x = 0$.

Ответ: если $|x|=6$, то $x = \pm 6$; если $|x|=3,2$, то $x = \pm 3,2$; если $|x|=0$, то $x=0$.

311. Запишите без знака модуля:

a) если a>0, то |a|=a

б) если c<0, то |c|=-c

в) $\left|a^2\right|=a^2$

г) если a>0, то $\left|a^3\right|=a^3$

д) если a<0, то $\left|a^3\right|=-a^3$

а) По определению модуля (абсолютной величины), модуль положительного числа равен самому числу. Поскольку по условию $a > 0$, то есть $a$ является положительным числом, то модуль $a$ равен $a$.
$|a| = a$, если $a > 0$.
Ответ: $a$

б) По определению модуля, модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. По условию $c < 0$, то есть $c$ является отрицательным числом. Противоположным для $c$ числом является $-c$. Таким образом, $|c| = -c$.
Например, если $c = -3$, то $|-3| = -(-3) = 3$.
Ответ: $-c$

в) Выражение под знаком модуля — $a^2$. Квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда является неотрицательным числом, то есть $a^2 \ge 0$ при любом значении $a$.
Так как выражение под знаком модуля всегда неотрицательно, то его модуль равен самому выражению.
$|a^2| = a^2$.
Ответ: $a^2$

г) В данном случае под знаком модуля стоит выражение $a^3$, и дано условие $a > 0$. Если $a$ — положительное число, то его третья степень $a^3$ также будет положительным числом, так как произведение положительных чисел положительно.
Поскольку выражение под модулем $a^3$ положительно, то $|a^3| = a^3$.
Ответ: $a^3$

д) Здесь под знаком модуля стоит выражение $a^3$, но с условием $a < 0$. Если $a$ — отрицательное число, то его третья (нечетная) степень $a^3$ будет отрицательным числом, так как произведение нечетного числа отрицательных сомножителей отрицательно.
Поскольку выражение под модулем $a^3$ отрицательно, то его модуль равен противоположному выражению, то есть $-(a^3)$.
$|a^3| = -a^3$.
Ответ: $-a^3$