Номер 253, страница 61 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 253, страница 61.

253. При каких значениях х имеет смысл выражение:

a) $\frac{{\displaystyle \frac{1}{x-2}}+{\displaystyle \frac{x}{x+2}}}{{\displaystyle \frac{3x}{x^2-4}}}$

$\begin{array}{lll}x-2\ne 0& x\ne 2& \frac{3x}{x^2-4}\ne 0\\ x+2\ne 0& x\ne -2& 3x\ne 0\\ x^2-4\ne 0& x\ne \pm 2& x\ne 0\end{array}$

Ответ: выражение имеет смысл при любых x, кроме -2; 0; 2

б) $\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{x}}}}}$

$\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ 1-\frac{1}{x}\ne 0\\ 1-\frac{1}{1-{\displaystyle \frac{1}{x}}}\ne 0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ \frac{x-1}{x}\ne 0\\ 1-\frac{1}{{\displaystyle \frac{x-1}{x}}}\ne 0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x-1\ne 0\\ 1-\frac{x}{{\displaystyle x-1}}\ne 0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne 1\\ \frac{x-1-x}{{\displaystyle x-1}}\ne 0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne 1\\ -\frac{1}{{\displaystyle x-1}}\ne 0\end{array}\right.$$\left\{\begin{array}{l}x\ne 0\\ x\ne 1\end{array}\right.$

Ответ: выражение имеет смысл при любых x, кроме 0 и 1

а)

Чтобы найти, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл, необходимо определить его область допустимых значений (ОДЗ). Выражение является дробным, и его смысл теряется, когда какой-либо из знаменателей обращается в ноль.

Рассмотрим выражение:

$$ \frac{\frac{1}{x-2} + \frac{x}{x+2}}{\frac{3x}{x^2 - 4}} $$

Найдем все знаменатели и приравняем их к нулю, чтобы найти недопустимые значения $x$:

1. Знаменатели дробей в числителе: $x-2$ и $x+2$.
$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

2. Знаменатель дроби $\frac{3x}{x^2 - 4}$ — это $x^2-4$.
$x^2-4 \neq 0 \implies (x-2)(x+2) \neq 0$.
Это условие также дает $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

3. Знаменатель всего выражения — это дробь $\frac{3x}{x^2 - 4}$. Эта дробь не должна равняться нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю (а знаменатель при этом не равен нулю).
Следовательно, числитель $3x$ не должен быть равен нулю:
$3x \neq 0 \implies x \neq 0$.

Объединяя все полученные условия, мы заключаем, что выражение имеет смысл для всех значений $x$, за исключением $x=-2$, $x=0$ и $x=2$.

Ответ: $x \neq -2, x \neq 0, x \neq 2$.

б)

Данное выражение представляет собой многоэтажную дробь. Оно имеет смысл, когда все знаменатели, встречающиеся в его записи, не равны нулю.

Рассмотрим выражение:

$$ \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}} $$

Проанализируем все знаменатели, двигаясь от самого внутреннего к внешнему:

1. Самая внутренняя дробь — это $\frac{1}{x}$. Ее знаменатель $x$ не должен быть равен нулю.
$x \neq 0$.

2. Следующий знаменатель — это выражение $1 - \frac{1}{x}$. Он также не должен быть равен нулю.
$1 - \frac{1}{x} \neq 0 \implies 1 \neq \frac{1}{x} \implies x \neq 1$.

3. Внешний (главный) знаменатель — это $1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$. Он также не должен равняться нулю.
$1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} \neq 0 \implies 1 \neq \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$.
Преобразуем выражение в правой части неравенства: $\frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{1}{\frac{x-1}{x}} = \frac{x}{x-1}$.
Теперь неравенство выглядит так: $1 \neq \frac{x}{x-1}$.
Поскольку из пункта 2 мы знаем, что $x \neq 1$, то знаменатель $x-1$ не равен нулю, и мы можем умножить обе части неравенства на $x-1$:
$x-1 \neq x \implies -1 \neq 0$.
Это неравенство истинно для любого значения $x$. Таким образом, это условие не добавляет новых ограничений.

Собрав все ограничения вместе, получаем, что $x$ не может быть равен 0 и 1.

Ответ: $x \neq 0, x \neq 1$.