Номер 243, страница 60 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 3. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 243, страница 60.

243. Упростите выражение:

a) $\frac{a^2+ax+ab+bx}{a^2-ax-ab+bx}·\frac{a^2-ax-bx+ab}{a^2+ax-bx-ab}=$

$$\begin{gathered} =\frac{(a^2+ax)+(ab+bx)}{(a^2-ax)-(ab-bx)}·\frac{(a^2-ax)-(bx-ab)}{(a^2+ax)-(bx+ab)}= \\ =\frac{a(a+x)+b(a+x)}{a(a-x)-b(a-x)}·\frac{a(a-x)-b(x-a)}{a(a+x)-b(x+a)}= \\ =\frac{\bcancel{(a+x)}(a+b)}{(a-b)\bcancel{(a-x)}}·\frac{(a+b)\bcancel{(a-x)}}{\bcancel{(a+x)}(a-b)}=\frac{{(a+b)}^2}{{(a-b)}^2} \end{gathered}$$

б) $\frac{x^2-bx+ax-ab}{x^2+bx-ax-ab}:\frac{x^2+bx+ax+ab}{x^2-bx-ax+ab}=$

$$\begin{gathered} =\frac{(x^2-bx)+(ax-ab)}{(x^2+bx)-(ax+ab)}:\frac{(x^2+bx)+(ax+ab)}{(x^2-bx)-(ax-ab)}= \\ =\frac{x(x-b)+a(x-b)}{x(x+b)-a(x+b)}:\frac{x(x+b)+a(x+b)}{x(x-b)-a(x-b)}= \\ =\frac{\bcancel{(x+a)}(x-b)}{\bcancel{(x-a)}(x+b)}·\frac{\bcancel{(x-a)}(x-b)}{\bcancel{(x+a}\left)\right(x+b)}=\frac{{(x-b)}^2}{{(x+b)}^2} \end{gathered}$$

а)

Исходное выражение: $ \frac{a^2 + ax + ab + bx}{a^2 - ax - ab + bx} \cdot \frac{a^2 - ax - bx + ab}{a^2 + ax - bx - ab} $.

Для упрощения выражения разложим на множители числители и знаменатели каждой дроби, используя метод группировки.

1. Числитель первой дроби: $ a^2 + ax + ab + bx = (a^2 + ax) + (ab + bx) = a(a + x) + b(a + x) = (a + x)(a + b) $.

2. Знаменатель первой дроби: $ a^2 - ax - ab + bx = (a^2 - ax) - (ab - bx) = a(a - x) - b(a - x) = (a - x)(a - b) $.

3. Числитель второй дроби: $ a^2 - ax - bx + ab = (a^2 - ax) - (bx - ab) = a(a - x) - b(x - a) = a(a - x) + b(a - x) = (a - x)(a + b) $.

4. Знаменатель второй дроби: $ a^2 + ax - bx - ab = (a^2 + ax) - (bx + ab) = a(a + x) - b(x + a) = (a + x)(a - b) $.

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$ \frac{(a + x)(a + b)}{(a - x)(a - b)} \cdot \frac{(a - x)(a + b)}{(a + x)(a - b)} $

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{(a + x)}(a + b)}{\cancel{(a - x)}(a - b)} \cdot \frac{\cancel{(a - x)}(a + b)}{\cancel{(a + x)}(a - b)} = \frac{(a + b)(a + b)}{(a - b)(a - b)} = \frac{(a + b)^2}{(a - b)^2} $

Выражение можно также записать в виде:

$ \left(\frac{a + b}{a - b}\right)^2 $

Ответ: $ \left(\frac{a + b}{a - b}\right)^2 $.

б)

Исходное выражение: $ \frac{x^2 - bx + ax - ab}{x^2 + bx - ax - ab} : \frac{x^2 + bx + ax + ab}{x^2 - bx - ax + ab} $.

Деление дробей заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{x^2 - bx + ax - ab}{x^2 + bx - ax - ab} \cdot \frac{x^2 - bx - ax + ab}{x^2 + bx + ax + ab} $

Теперь разложим на множители числители и знаменатели, используя метод группировки.

1. Числитель первой дроби: $ x^2 - bx + ax - ab = (x^2 - bx) + (ax - ab) = x(x - b) + a(x - b) = (x - b)(x + a) $.

2. Знаменатель первой дроби: $ x^2 + bx - ax - ab = (x^2 + bx) - (ax + ab) = x(x + b) - a(x + b) = (x + b)(x - a) $.

3. Числитель второй дроби: $ x^2 - bx - ax + ab = (x^2 - bx) - (ax - ab) = x(x - b) - a(x - b) = (x - b)(x - a) $.

4. Знаменатель второй дроби: $ x^2 + bx + ax + ab = (x^2 + bx) + (ax + ab) = x(x + b) + a(x + b) = (x + b)(x + a) $.

Подставим полученные разложения в выражение:

$ \frac{(x - b)(x + a)}{(x + b)(x - a)} \cdot \frac{(x - b)(x - a)}{(x + b)(x + a)} $

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{(x - b)\cancel{(x + a)}}{(x + b)\cancel{(x - a)}} \cdot \frac{(x - b)\cancel{(x - a)}}{(x + b)\cancel{(x + a)}} = \frac{(x - b)(x - b)}{(x + b)(x + b)} = \frac{(x - b)^2}{(x + b)^2} $

Выражение можно также записать в виде:

$ \left(\frac{x - b}{x + b}\right)^2 $

Ответ: $ \left(\frac{x - b}{x + b}\right)^2 $.