Номер 241, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 241, страница 59.

241. При каких целых n значение дроби является целым числом:

a) $\frac{5n^2+2n+3}{n}=\frac{5n^2}{n}+\frac{2n}{n}+\frac{3}{n}=5n+2+\frac{3}{n}$

Значение 5n+2 при любом целом n является целым числом. Значение дроби $\frac{3}{n}$ является целым числом при $n=\pm 1; \pm 3$

Ответ: при $n=\pm 1; \pm 3$

 

б) $\frac{{(n-3)}^2}{n}=\frac{n^2-6n+9}{n}=\frac{n^2}{n}-\frac{6n}{n}+\frac{9}{n}=n-6+\frac{9}{n}$

Значение n-6 при любом целом n является целым числом. Значение дроби $\frac{9}{n}$ является целым числом при $n=\pm 1; \pm 3; \pm 9$

Ответ: при $n=\pm 1; \pm 3; \pm 9$

 

в) $\frac{3n}{n+2}=\frac{3(n+2)-6}{n+2}=\frac{3(n+2)}{n+2}-\frac{6}{n+2}=3-\frac{6}{n+2}$

Значение дроби $\frac{6}{n+2}$ является целым числом тогда и только тогда, когда

$$\begin{gathered} n+2=1; \\ n=-1; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n+2=-1; \\ n=-3; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n+2=2; \\ n=0; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n+2=-2; \\ n=-4; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n+2=3; \\ n=1; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n+2=-3; \\ n=-5; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n+2=6; \\ n=4; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n+2=-6; \\ n=-8; \end{gathered}$$

Ответ: при n=-8; -5; -4; -3; -1; 0; 1; 4

 

г) $\frac{7n}{n-4}=\frac{7(n-4)+28}{n-4}=\frac{7(n-4)}{n-4}+\frac{28}{n-4}=7+\frac{28}{n-4}$

Значение дроби $\frac{28}{n-4}$ является целым числом тогда и только тогда, когда

$$\begin{gathered} n-4=1; \\ n=5; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=-1; \\ n=3; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=2; \\ n=6; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=-2; \\ n=2; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=4; \\ n=8; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=-4; \\ n=0; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=7; \\ n=11; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=-7; \\ n=-3; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=14; \\ n=18; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=-14; \\ n=-10; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=28; \\ n=32; \end{gathered}$$$$\begin{gathered} n-4=-28; \\ n=-24; \end{gathered}$$

Ответ: при n=-24; -10; -3; 0; 2; 3; 5; 6; 8; 11; 18; 32

а) Чтобы значение дроби $\frac{5n^2 + 2n + 3}{n}$ было целым числом, необходимо, чтобы числитель делился на знаменатель без остатка.

Преобразуем дробь, разделив каждый член числителя на знаменатель $n$:

$\frac{5n^2 + 2n + 3}{n} = \frac{5n^2}{n} + \frac{2n}{n} + \frac{3}{n} = 5n + 2 + \frac{3}{n}$

Поскольку $n$ — целое число, выражение $5n + 2$ также является целым числом. Следовательно, для того чтобы вся сумма была целой, необходимо, чтобы слагаемое $\frac{3}{n}$ было целым числом.

Это возможно только в том случае, если $n$ является делителем числа 3.

Целые делители числа 3: 1, -1, 3, -3.

Ответ: $n \in \{-3, -1, 1, 3\}$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{(n-3)^2}{n}$.

Раскроем квадрат в числителе:

$\frac{(n-3)^2}{n} = \frac{n^2 - 6n + 9}{n}$

Разделим почленно числитель на знаменатель:

$\frac{n^2}{n} - \frac{6n}{n} + \frac{9}{n} = n - 6 + \frac{9}{n}$

Поскольку $n$ — целое число, выражение $n - 6$ также является целым. Чтобы вся сумма была целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{9}{n}$ была целым числом.

Это означает, что $n$ должно быть делителем числа 9.

Целые делители числа 9: 1, -1, 3, -3, 9, -9.

Ответ: $n \in \{-9, -3, -1, 1, 3, 9\}$.

в) Рассмотрим дробь $\frac{3n}{n+2}$.

Чтобы выделить целую часть, представим числитель в виде $3(n+2) - 6$:

$\frac{3n}{n+2} = \frac{3n + 6 - 6}{n+2} = \frac{3(n+2) - 6}{n+2}$

Теперь разделим на два слагаемых:

$\frac{3(n+2)}{n+2} - \frac{6}{n+2} = 3 - \frac{6}{n+2}$

Выражение будет целым, если дробь $\frac{6}{n+2}$ будет целым числом. Это возможно, если знаменатель $n+2$ является делителем числа 6.

Целые делители числа 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Найдем соответствующие значения $n$:
Если $n+2 = 1$, то $n = -1$.
Если $n+2 = -1$, то $n = -3$.
Если $n+2 = 2$, то $n = 0$.
Если $n+2 = -2$, то $n = -4$.
Если $n+2 = 3$, то $n = 1$.
Если $n+2 = -3$, то $n = -5$.
Если $n+2 = 6$, то $n = 4$.
Если $n+2 = -6$, то $n = -8$.

Ответ: $n \in \{-8, -5, -4, -3, -1, 0, 1, 4\}$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{7n}{n-4}$.

Выделим целую часть, представив числитель $7n$ в виде $7(n-4) + 28$:

$\frac{7n}{n-4} = \frac{7n - 28 + 28}{n-4} = \frac{7(n-4) + 28}{n-4}$

Разделим на два слагаемых:

$\frac{7(n-4)}{n-4} + \frac{28}{n-4} = 7 + \frac{28}{n-4}$

Выражение будет целым, если дробь $\frac{28}{n-4}$ будет целым числом. Это возможно, если знаменатель $n-4$ является делителем числа 28.

Целые делители числа 28: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 7, \pm 14, \pm 28$. Найдем соответствующие значения $n$:
Если $n-4 = 1$, то $n = 5$.
Если $n-4 = -1$, то $n = 3$.
Если $n-4 = 2$, то $n = 6$.
Если $n-4 = -2$, то $n = 2$.
Если $n-4 = 4$, то $n = 8$.
Если $n-4 = -4$, то $n = 0$.
Если $n-4 = 7$, то $n = 11$.
Если $n-4 = -7$, то $n = -3$.
Если $n-4 = 14$, то $n = 18$.
Если $n-4 = -14$, то $n = -10$.
Если $n-4 = 28$, то $n = 32$.
Если $n-4 = -28$, то $n = -24$.

Ответ: $n \in \{-24, -10, -3, 0, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 18, 32\}$.