Номер 234, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 234, страница 58.

234. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения равно нулю:

$$\begin{gathered} \frac{1}{(a-b)(b-c)}+\frac{1}{(c-a)(a-b)}+\frac{1}{(b-c)(c-a)}= \\ =\frac{c-a+b-c+a-b}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0 \end{gathered}$$

Для того чтобы доказать, что значение данного выражения равно нулю, необходимо его упростить. Основной шаг — приведение всех дробей к общему знаменателю.

Исходное выражение:

$$ \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(a-b)} + \frac{1}{(b-c)(c-a)} $$

Сначала определим область допустимых значений переменных. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, следовательно:

• $a - b \neq 0 \implies a \neq b$
• $b - c \neq 0 \implies b \neq c$
• $c - a \neq 0 \implies c \neq a$

Таким образом, переменные $a$, $b$ и $c$ должны быть попарно различны.

Общим знаменателем для всех трех дробей является произведение $(a-b)(b-c)(c-a)$.

Приведем каждую дробь к этому общему знаменателю. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на множитель $(c-a)$, второй дроби — на $(b-c)$, и третьей дроби — на $(a-b)$:

$$ \frac{1 \cdot (c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{1 \cdot (b-c)}{(c-a)(a-b)(b-c)} + \frac{1 \cdot (a-b)}{(b-c)(c-a)(a-b)} $$

Теперь мы можем сложить дроби, так как у них одинаковый знаменатель. Запишем сумму числителей над общим знаменателем:

$$ \frac{(c-a) + (b-c) + (a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ c - a + b - c + a - b = (a - a) + (b - b) + (c - c) = 0 + 0 + 0 = 0 $$

Числитель дроби равен нулю. Таким образом, все выражение принимает вид:

$$ \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$

Поскольку мы работаем в области допустимых значений, где $a \neq b$, $b \neq c$ и $c \neq a$, знаменатель не равен нулю. Деление нуля на любое число, не равное нулю, дает в результате ноль.

Следовательно, значение исходного выражения равно нулю при всех допустимых значениях переменных, что и требовалось доказать.

Ответ: Значение выражения равно 0.