Номер 230, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 230, страница 58.

230. Выполните действие:

a) $\frac{3b^2-5b-1}{b^{2}y}+\frac{5b-3}{by}=\frac{3b^2-5b-1}{b^{2}y}+$

$$\begin{gathered} +\frac{b(5b-3)}{b^{2}y}=\frac{3b^2-5b-1+b(5b-3)}{b^{2}y}= \\ =\frac{3b^2-5b-1+5b^2-3b}{b^{2}y}=\frac{8b^2-8b-1}{b^{2}y} \end{gathered}$$

б) $\frac{a^2-a+1}{a^{3}x}-\frac{x^2-1}{a{x}^3}=\frac{x^2(a^2-a+1)-a^2(x^2-1)}{a^3{x}^3}=$

$=\frac{a^2{x}^2-a{x}^2+x^2-a^2{x}^2+a^2}{a^3{x}^3}=\frac{a^2-a{x}^2+x^2}{a^3{x}^3}$

в) $\frac{1+c}{c^3{y}^4}-\frac{c^3+y^4}{c^2{y}^8}=\frac{y^4(1+c)-c(c^3+y^4)}{c^3{y}^8}=$

$\frac{y^4+y^{4}c=c^4-c{y}^4}{c^3{y}^8}=\frac{y^4-c^4}{c^3{y}^8}$

г) $\frac{c^2+x^2}{c^2{x}^5}-\frac{c+x}{c^3{x}^3}=\frac{c(c^2+x^2)-x^2(c+x)}{c^3{x}^5}=$

$=\frac{c^3+c{x}^2-c{x}^2-x^3}{c^3{x}^5}=\frac{c^3-x^3}{c^3{x}^5}$

а) Чтобы выполнить сложение дробей $\frac{3b^2 - 5b - 1}{b^2y} + \frac{5b - 3}{by}$, необходимо привести их к общему знаменателю.
Знаменатели дробей: $b^2y$ и $by$. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для них — $b^2y$.
Для первой дроби знаменатель уже является общим. Для второй дроби $\frac{5b - 3}{by}$ дополнительный множитель равен $b$.
Умножим числитель и знаменатель второй дроби на $b$:
$\frac{5b - 3}{by} = \frac{(5b - 3) \cdot b}{by \cdot b} = \frac{5b^2 - 3b}{b^2y}$.
Теперь выполним сложение дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{3b^2 - 5b - 1}{b^2y} + \frac{5b^2 - 3b}{b^2y} = \frac{(3b^2 - 5b - 1) + (5b^2 - 3b)}{b^2y}$.
Сложим многочлены в числителе:
$3b^2 - 5b - 1 + 5b^2 - 3b = (3b^2 + 5b^2) + (-5b - 3b) - 1 = 8b^2 - 8b - 1$.
Результат:
$\frac{8b^2 - 8b - 1}{b^2y}$.
Ответ: $\frac{8b^2 - 8b - 1}{b^2y}$

б) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{a^2 - a + 1}{a^3x} - \frac{x^2 - 1}{ax^3}$, приведем их к общему знаменателю.
Знаменатели дробей: $a^3x$ и $ax^3$. НОЗ для них — $a^3x^3$.
Дополнительный множитель для первой дроби $\frac{a^2 - a + 1}{a^3x}$ равен $x^2$.
Дополнительный множитель для второй дроби $\frac{x^2 - 1}{ax^3}$ равен $a^2$.
$\frac{(a^2 - a + 1) \cdot x^2}{a^3x \cdot x^2} - \frac{(x^2 - 1) \cdot a^2}{ax^3 \cdot a^2} = \frac{a^2x^2 - ax^2 + x^2}{a^3x^3} - \frac{a^2x^2 - a^2}{a^3x^3}$.
Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{(a^2x^2 - ax^2 + x^2) - (a^2x^2 - a^2)}{a^3x^3} = \frac{a^2x^2 - ax^2 + x^2 - a^2x^2 + a^2}{a^3x^3}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(a^2x^2 - a^2x^2) - ax^2 + x^2 + a^2 = -ax^2 + x^2 + a^2$.
Результат (запишем слагаемые в стандартном порядке):
$\frac{a^2 - ax^2 + x^2}{a^3x^3}$.
Ответ: $\frac{a^2 - ax^2 + x^2}{a^3x^3}$

в) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{1 + c}{c^3y^4} - \frac{c^3 + y^4}{c^2y^8}$, приведем их к общему знаменателю.
Знаменатели дробей: $c^3y^4$ и $c^2y^8$. НОЗ для них — $c^3y^8$.
Дополнительный множитель для первой дроби равен $y^4$.
Дополнительный множитель для второй дроби равен $c$.
$\frac{(1 + c) \cdot y^4}{c^3y^4 \cdot y^4} - \frac{(c^3 + y^4) \cdot c}{c^2y^8 \cdot c} = \frac{y^4 + cy^4}{c^3y^8} - \frac{c^4 + cy^4}{c^3y^8}$.
Выполним вычитание дробей:
$\frac{(y^4 + cy^4) - (c^4 + cy^4)}{c^3y^8} = \frac{y^4 + cy^4 - c^4 - cy^4}{c^3y^8}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$y^4 + (cy^4 - cy^4) - c^4 = y^4 - c^4$.
Результат:
$\frac{y^4 - c^4}{c^3y^8}$.
Ответ: $\frac{y^4 - c^4}{c^3y^8}$

г) Чтобы выполнить вычитание дробей $\frac{c^2 + x^2}{c^2x^5} - \frac{c + x}{c^3x^3}$, приведем их к общему знаменателю.
Знаменатели дробей: $c^2x^5$ и $c^3x^3$. НОЗ для них — $c^3x^5$.
Дополнительный множитель для первой дроби равен $c$.
Дополнительный множитель для второй дроби равен $x^2$.
$\frac{(c^2 + x^2) \cdot c}{c^2x^5 \cdot c} - \frac{(c + x) \cdot x^2}{c^3x^3 \cdot x^2} = \frac{c^3 + cx^2}{c^3x^5} - \frac{cx^2 + x^3}{c^3x^5}$.
Выполним вычитание дробей:
$\frac{(c^3 + cx^2) - (cx^2 + x^3)}{c^3x^5} = \frac{c^3 + cx^2 - cx^2 - x^3}{c^3x^5}$.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$c^3 + (cx^2 - cx^2) - x^3 = c^3 - x^3$.
Результат:
$\frac{c^3 - x^3}{c^3x^5}$.
Ответ: $\frac{c^3 - x^3}{c^3x^5}$