Номер 233, страница 58 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 233, страница 58.

233. Упростите выражение:

$$\begin{gathered} \mathbf{\text{a) }}\frac{2y^2-y}{y^2-y+{\displaystyle \frac{1}{4}}}-\frac{2y^2+y}{y^2+y+{\displaystyle \frac{1}{4}}}-\frac{1}{y^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}}= \\ =\frac{4(2y^2-y)}{4(y^2-y+{\displaystyle \frac{1}{4}})}-\frac{4(2y^2+y)}{4(y^2+y+{\displaystyle \frac{1}{4}})}-\frac{4}{4(y^2-{\displaystyle \frac{1}{4}})}= \\ =\frac{8y^2-4y}{4y^2-4y+1}-\frac{8y^2+4y}{4y^2+4y+1}-\frac{4}{4y^2-1}= \\ =\frac{8y^2-4y}{(2y-1)}-\frac{8y^2+4y}{{(2y+1)}^2}-\frac{4}{(2y-1)(2y+1)}= \\ =\frac{\begin{array}{c}(8y^2-4y)(4y^2+4y+1)-(8y^2+\\ +4y){(2y-1)}^2-4(4y^2-1)\end{array}}{{(2y-1)}^2{(2y+1)}^2}= \\ =\frac{\begin{array}{c}(8y^2-4y)(4y^2+4y+1)-(8y^2+4y)(4y^2-\\ -4y+1)-16y^2+4\end{array}}{{(2y-1)}^2{(2y+1)}^2}= \\ =\frac{\begin{array}{c}32y^4+32y^3+8y^2-16y^3-16y^2-4y-(32y^4+\\ +8y^2-32y^3+16y^3-16y^2+4y)-16y^2+4\end{array}}{{(2y-1)}^2{(2y+1)}^2}= \\ =\frac{\begin{array}{c}32y^4+16y^3-8y^2-4y-(32y^4-\\ -16y^3-8y^2+4y)-16y^2+4\end{array}}{{(2y-1)}^2{(2y+1)}^2}= \\ =\frac{\begin{array}{c}32y^4+16y^3-8y^2-4y-32y^4+16y^3+\\ +8y^2-4y-16y^2+4\end{array}}{{(2y-1)}^2{(2y+1)}^2}= \\ =\frac{32y^3-16y^2-8y+4}{{(2y-1)}^2{(2y+1)}^2}=\frac{(32y^3-16y^2)-(8y-4)}{{(2y-1)}^2{(2y+1)}^2}= \\ =\frac{16y^2(2y-1)-4(2y-1)}{{(2y-1)}^2{(2y+1)}^2}=\frac{(2y-1)(16y^2-4)}{{(2y-1)}^2{(2y+1)}^2}= \\ =\frac{4(4y^2-1)}{(2y-1){(2y+1)}^2}=\frac{4(2y-1)(2y+1)}{(2y-1){(2y+1)}^2}=\frac{4}{2y+1} \end{gathered}$$

б) $\frac{6a}{2,5a^2-0,64}-\frac{8}{6a-3,2}$ =(опечатка в условии)

$$\begin{gathered} \frac{6a}{2,25a^2-0,64}-\frac{8}{6a-3,2}= \\ =\frac{6a}{(1,5a-0,8)(1,5a+0,8)}-\frac{8}{4(1,5a-0,8)}= \\ =\frac{6a}{(1,5a-0,8)(1,5a+0,8)}-\frac{2}{1,5a-0,8}= \\ =\frac{6a-2(1,5a+0,8)}{(1,5a-0,8)(1,5a+0,8)}= \\ =\frac{6a-3a-1,6}{(1,5a-0,8)(1,5a+0,8)}= \\ =\frac{3a-1,6}{(1,5a-0,8)(1,5a+0,8)}= \\ =\frac{2(1,5a-0,8)}{(1,5a-0,8)(1,5a+0,8)}=\frac{2}{1,5a+0,8}= \\ =\frac{2·10}{(1,5a+0,8)·10}=\frac{20}{15a+8} \end{gathered}$$

а) Упростим выражение $ \frac{2y^2 - y}{y^2 - y + \frac{1}{4}} - \frac{2y^2 + y}{y^2 + y + \frac{1}{4}} - \frac{1}{y^2 - \frac{1}{4}} $.

1. Разложим на множители знаменатели дробей, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $, квадрат разности $ (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 $ и разность квадратов $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $.

• $ y^2 - y + \frac{1}{4} = y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (y - \frac{1}{2})^2 $
• $ y^2 + y + \frac{1}{4} = y^2 + 2 \cdot y \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (y + \frac{1}{2})^2 $
• $ y^2 - \frac{1}{4} = y^2 - (\frac{1}{2})^2 = (y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2}) $

2. Разложим на множители числители первых двух дробей:

• $ 2y^2 - y = y(2y - 1) = 2y(y - \frac{1}{2}) $
• $ 2y^2 + y = y(2y + 1) = 2y(y + \frac{1}{2}) $

3. Подставим разложенные выражения в исходное и сократим дроби:

$ \frac{2y(y - \frac{1}{2})}{(y - \frac{1}{2})^2} - \frac{2y(y + \frac{1}{2})}{(y + \frac{1}{2})^2} - \frac{1}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} = \frac{2y}{y - \frac{1}{2}} - \frac{2y}{y + \frac{1}{2}} - \frac{1}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} $

4. Приведем первые две дроби к общему знаменателю $ (y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2}) $ и выполним вычитание:

$ \frac{2y(y + \frac{1}{2}) - 2y(y - \frac{1}{2})}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} = \frac{2y^2 + y - (2y^2 - y)}{y^2 - \frac{1}{4}} = \frac{2y^2 + y - 2y^2 + y}{y^2 - \frac{1}{4}} = \frac{2y}{y^2 - \frac{1}{4}} $

5. Теперь вычтем третью дробь:

$ \frac{2y}{y^2 - \frac{1}{4}} - \frac{1}{y^2 - \frac{1}{4}} = \frac{2y - 1}{y^2 - \frac{1}{4}} $

6. Упростим полученное выражение. Разложим числитель и знаменатель на множители:

$ \frac{2y - 1}{y^2 - \frac{1}{4}} = \frac{2(y - \frac{1}{2})}{(y - \frac{1}{2})(y + \frac{1}{2})} = \frac{2}{y + \frac{1}{2}} $

7. Избавимся от дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 2:

$ \frac{2 \cdot 2}{(y + \frac{1}{2}) \cdot 2} = \frac{4}{2y + 1} $

Ответ: $ \frac{4}{2y + 1} $.

б) Упростим выражение $ \frac{6a}{2,5a^2 - 0,64} - \frac{8}{6a - 3,2} $.

В знаменателе первой дроби $ 2,5a^2 - 0,64 $ коэффициент при $ a^2 $ равен 2,5, что не является квадратом рационального числа. Это делает задачу нестандартной для школьного курса. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка, и имелось в виду $ 2,25a^2 $, так как $ 2,25 = 1,5^2 $. Решим задачу с этим исправлением.

Исправленное выражение: $ \frac{6a}{2,25a^2 - 0,64} - \frac{8}{6a - 3,2} $.

1. Разложим знаменатели на множители.

• Первый знаменатель — это разность квадратов: $ 2,25a^2 - 0,64 = (1,5a)^2 - (0,8)^2 = (1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8) $.
• Во втором знаменателе вынесем общий множитель 4: $ 6a - 3,2 = 4(1,5a - 0,8) $.

2. Подставим разложенные знаменатели в выражение:

$ \frac{6a}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} - \frac{8}{4(1,5a - 0,8)} $

3. Сократим вторую дробь на 4:

$ \frac{6a}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} - \frac{2}{1,5a - 0,8} $

4. Приведем дроби к общему знаменателю $ (1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8) $:

$ \frac{6a - 2(1,5a + 0,8)}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} $

5. Упростим числитель:

$ 6a - 2(1,5a + 0,8) = 6a - 3a - 1,6 = 3a - 1,6 $

6. Получаем дробь:

$ \frac{3a - 1,6}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} $

7. Вынесем в числителе общий множитель 2: $ 3a - 1,6 = 2(1,5a - 0,8) $.

8. Подставим и сократим дробь:

$ \frac{2(1,5a - 0,8)}{(1,5a - 0,8)(1,5a + 0,8)} = \frac{2}{1,5a + 0,8} $

9. Для удобства избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 10:

$ \frac{2 \cdot 10}{(1,5a + 0,8) \cdot 10} = \frac{20}{15a + 8} $

Ответ: $ \frac{20}{15a + 8} $.