Номер 235, страница 59 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 2. Дополнительные упражнения к главе I. Глава 1. Рациональные дроби - номер 235, страница 59.

235. Упростите выражение:

a) $\frac{5}{y-3}+\frac{1}{y+3}-\frac{4y-18}{y^2-9}=$

$$\begin{gathered} =\frac{5(y+3)+(y-3)-(4y-18)}{(y-3)(y+3)}= \\ =\frac{5y+15+y-3-4y+18}{(y-3)(y+3)}=\frac{2y+30}{y^2-9} \end{gathered}$$

б) $\frac{2a}{2a+3}+\frac{5}{3-2a}-\frac{4a^2+9}{4a^2-9}=\frac{2a}{2a+3}-\frac{5}{2a-3}-$

$$\begin{gathered} -\frac{4a^2+9}{4a^2-9}=\frac{2a(2a-3)-5(2a+3)-(4a^2+9)}{(2a+3)(2a-3)}= \\ =\frac{4a^2-6a-10a-15-4a^2-9}{(2a+3)(2a-3)}=\frac{-16a-24}{(2a+3)(2a-3)}= \\ =\frac{-8(2a+3)}{(2a+3)(2a-3)}=\frac{-8}{2a-3}=\frac{8}{3-2a} \end{gathered}$$

в) $\frac{4m}{4m^2-1}-\frac{2m+1}{6m-3}+\frac{2m-1}{4m+2}=\frac{4m}{(2m-1)(2m+1)}-$

$$\begin{gathered} -\frac{2m+1}{3(2m-1)}+\frac{2m-1}{2(2m+1)}= \\ =\frac{4m·6-2{(2m+1)}^2+3{(2m-1)}^2}{6(2m-1)(2m+1)}= \\ =\frac{24m-2(4m^2+4m+1)+3(4m^2-4m+1)}{6(2m-1)(2m+1)}= \\ =\frac{24m-8m^2-8m-2+12m^2-12m+3}{6(2m-1)(2m+1)}= \\ =\frac{4m^2+4m+1}{6(2m-1)(2m+1)}=\frac{{(2m+1)}^2}{6(2m-1)(2m+1)}= \\ =\frac{2m+1}{12m-6} \end{gathered}$$

г) $\frac{1}{{(x+y)}^2}-\frac{2}{x^2-y^2}+\frac{1}{{(x-y)}^2}=\frac{1}{{(x+y)}^2}-$

$$\begin{gathered} -\frac{2}{(x-y)(x+y)}+\frac{1}{{(x-y)}^2}= \\ =\frac{{(x-y)}^2-2(x-y)(x+y)+{(x+y)}^2}{{(x-y)}^2{(x+y)}^2}= \\ =\frac{\left(\right(x-y)-{(x+y))}^2}{{(x-y)}^2{(x+y)}^2}=\frac{{(x-y-x-y)}^2}{{(x-y)}^2{(x+y)}^2}= \\ =\frac{{(-2y)}^2}{{(x-y)}^2{(x+y)}^2}=\frac{4y^2}{{(x^2-y^2)}^2} \end{gathered}$$

д) $\frac{4a^2+3a+2}{a^3-1}-\frac{1-2a}{a^2+a+1}=\frac{4a^2+3a+2}{(a-1)(a^2+a+1)}-$

$$\begin{gathered} -\frac{(1-2a)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)}= \\ =\frac{4a^2+3a+2-(a-1-2a^2+2a)}{(a-1)(a^2+a+1)}= \\ =\frac{4a^2+3a+2-a+1+2a^2-2a}{(a-1)(a^2+a+1)}=\frac{6a^2+3}{a^3-1} \end{gathered}$$

е) $\frac{x-y}{x^2+xy+y^2}-\frac{3xy}{x^3-y^3}+\frac{1}{x-y}=\frac{x-y}{x^2+xy+y^2}-$

$$\begin{gathered} -\frac{3xy}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}+\frac{1}{x-y}= \\ =\frac{{(x-y)}^2-3xy+(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}= \\ =\frac{x^2-2xy+y^2-3xy+x^2+xy+y^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}= \\ =\frac{2x^2-4xy+2y^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}=\frac{2(x^2-2xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}= \\ =\frac{2{(x-y)}^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}=\frac{2(x-y)}{x^2+xy+y}=\frac{2x-2y}{x^2+xy+y^2} \end{gathered}$$

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{5}{y-3} + \frac{1}{y+3} - \frac{4y-18}{y^2-9} $, сначала приведем все дроби к общему знаменателю.

Знаменатель третьей дроби $y^2-9$ раскладывается на множители как разность квадратов: $y^2-9 = (y-3)(y+3)$. Это и будет общий знаменатель.

Дополнительный множитель для первой дроби — $(y+3)$, для второй — $(y-3)$. Третья дробь уже имеет общий знаменатель.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия:

$ \frac{5(y+3)}{(y-3)(y+3)} + \frac{1(y-3)}{(y-3)(y+3)} - \frac{4y-18}{(y-3)(y+3)} = \frac{5(y+3) + (y-3) - (4y-18)}{(y-3)(y+3)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{5y+15+y-3-4y+18}{(y-3)(y+3)} = \frac{(5y+y-4y) + (15-3+18)}{(y-3)(y+3)} = \frac{2y+30}{y^2-9} $

Дальнейшие сокращения невозможны.

Ответ: $ \frac{2y+30}{y^2-9} $.

б) Упростим выражение $ \frac{2a}{2a+3} + \frac{5}{3-2a} - \frac{4a^2+9}{4a^2-9} $.

Преобразуем знаменатели: $3-2a = -(2a-3)$ и $4a^2-9 = (2a-3)(2a+3)$.

Выражение принимает вид:

$ \frac{2a}{2a+3} - \frac{5}{2a-3} - \frac{4a^2+9}{(2a-3)(2a+3)} $

Общий знаменатель — $(2a-3)(2a+3)$. Приведем дроби к нему:

$ \frac{2a(2a-3)}{(2a-3)(2a+3)} - \frac{5(2a+3)}{(2a-3)(2a+3)} - \frac{4a^2+9}{(2a-3)(2a+3)} $

Объединим дроби:

$ \frac{2a(2a-3) - 5(2a+3) - (4a^2+9)}{(2a-3)(2a+3)} $

Упростим числитель:

$ \frac{4a^2-6a - 10a-15 - 4a^2-9}{(2a-3)(2a+3)} = \frac{-16a-24}{(2a-3)(2a+3)} $

Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:

$ \frac{-8(2a+3)}{(2a-3)(2a+3)} = \frac{-8}{2a-3} $

Результат можно также записать в виде $ \frac{8}{3-2a} $.

Ответ: $ \frac{8}{3-2a} $.

в) Упростим выражение $ \frac{4m}{4m^2-1} - \frac{2m+1}{6m-3} + \frac{2m-1}{4m+2} $.

Разложим знаменатели на множители: $4m^2-1 = (2m-1)(2m+1)$, $6m-3 = 3(2m-1)$, $4m+2 = 2(2m+1)$.

Общий знаменатель: $6(2m-1)(2m+1)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{4m \cdot 6}{6(2m-1)(2m+1)} - \frac{(2m+1) \cdot 2(2m+1)}{6(2m-1)(2m+1)} + \frac{(2m-1) \cdot 3(2m-1)}{6(2m-1)(2m+1)} $

Объединим в одну дробь:

$ \frac{24m - 2(2m+1)^2 + 3(2m-1)^2}{6(2m-1)(2m+1)} $

Раскроем квадраты и упростим числитель:

$ \frac{24m - 2(4m^2+4m+1) + 3(4m^2-4m+1)}{6(4m^2-1)} = \frac{24m - 8m^2-8m-2 + 12m^2-12m+3}{6(4m^2-1)} $

$ \frac{4m^2+4m+1}{6(4m^2-1)} $

Числитель является полным квадратом: $4m^2+4m+1 = (2m+1)^2$. Сократим дробь:

$ \frac{(2m+1)^2}{6(2m-1)(2m+1)} = \frac{2m+1}{6(2m-1)} $

Ответ: $ \frac{2m+1}{6(2m-1)} $.

г) Упростим выражение $ \frac{1}{(x+y)^2} - \frac{2}{x^2-y^2} + \frac{1}{(x-y)^2} $.

Разложим средний знаменатель: $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$. Общий знаменатель для всех дробей — $(x+y)^2(x-y)^2 = (x^2-y^2)^2$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{1 \cdot (x-y)^2}{(x+y)^2(x-y)^2} - \frac{2 \cdot (x-y)(x+y)}{(x+y)^2(x-y)^2} + \frac{1 \cdot (x+y)^2}{(x+y)^2(x-y)^2} $

Объединим числители в один:

$ \frac{(x-y)^2 - 2(x^2-y^2) + (x+y)^2}{(x^2-y^2)^2} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{(x^2 - 2xy + y^2) - (2x^2 - 2y^2) + (x^2 + 2xy + y^2)}{(x^2-y^2)^2} = \frac{x^2 - 2xy + y^2 - 2x^2 + 2y^2 + x^2 + 2xy + y^2}{(x^2-y^2)^2} $

Сгруппируем подобные члены: $ (x^2 - 2x^2 + x^2) + (-2xy + 2xy) + (y^2 + 2y^2 + y^2) = 0 + 0 + 4y^2 = 4y^2 $.

Таким образом, выражение упрощается до:

$ \frac{4y^2}{(x^2-y^2)^2} $

Ответ: $ \frac{4y^2}{(x^2-y^2)^2} $.

д) Упростим выражение $ \frac{4a^2+3a+2}{a^3-1} - \frac{1-2a}{a^2+a+1} $.

Знаменатель первой дроби — это разность кубов: $a^3-1 = (a-1)(a^2+a+1)$. Это и будет общий знаменатель.

Приведем вторую дробь к общему знаменателю:

$ \frac{4a^2+3a+2}{(a-1)(a^2+a+1)} - \frac{(1-2a)(a-1)}{(a-1)(a^2+a+1)} $

Выполним вычитание в числителе:

$ \frac{(4a^2+3a+2) - (1-2a)(a-1)}{a^3-1} $

Раскроем скобки в числителе:

$ (1-2a)(a-1) = a-1-2a^2+2a = -2a^2+3a-1 $

$ \frac{4a^2+3a+2 - (-2a^2+3a-1)}{a^3-1} = \frac{4a^2+3a+2+2a^2-3a+1}{a^3-1} $

Приведем подобные слагаемые:

$ \frac{6a^2+3}{a^3-1} $

Ответ: $ \frac{6a^2+3}{a^3-1} $.

е) Упростим выражение $ \frac{x-y}{x^2+xy+y^2} - \frac{3xy}{x^3-y^3} + \frac{1}{x-y} $.

Разложим знаменатель средней дроби по формуле разности кубов: $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$. Это будет общий знаменатель.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{(x-y)(x-y)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} - \frac{3xy}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} + \frac{1(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} $

Объединим дроби:

$ \frac{(x-y)^2 - 3xy + (x^2+xy+y^2)}{x^3-y^3} $

Раскроем скобки и упростим числитель:

$ \frac{(x^2-2xy+y^2) - 3xy + x^2+xy+y^2}{x^3-y^3} = \frac{2x^2 - 4xy + 2y^2}{x^3-y^3} $

Вынесем общий множитель 2 в числителе: $2(x^2-2xy+y^2) = 2(x-y)^2$.

Получим дробь:

$ \frac{2(x-y)^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)} $

Сократим на общий множитель $(x-y)$:

$ \frac{2(x-y)}{x^2+xy+y^2} $

Ответ: $ \frac{2(x-y)}{x^2+xy+y^2} $.