Номер 314, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Уравнение х^2 = а. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 314, страница 76.

314. Решите уравнение и с помощью графика функции y = x² найдите приближённые значения его корней:

а) x² = 3;

б) x² = 5;

в) x² = 4,5;

г) x² = 8,5.

a) $x^2=3$

$$\begin{gathered} x_1=\sqrt{3}\approx 1,7 \\ {x}_2=-\sqrt{3}\approx -1,7 \end{gathered}$$

Ответ: ≈-1,7; ≈1,7

б) $x^2=5$

$$\begin{gathered} x_1=\sqrt{5}\approx 2,2 \\ {x}_2=-\sqrt{5}\approx -2,2 \end{gathered}$$

Ответ: ≈-2,2 и ≈2,2

в) $x^2=4,5$

$$\begin{gathered} x_1=\sqrt{4,5}\approx 2,1 \\ {x}_2=-\sqrt{4,5}\approx -2,1 \end{gathered}$$

Ответ: ≈-2,1 и ≈2,1

г) $x^2=8,5$

$$\begin{gathered} x_1=\sqrt{8,5}\approx 2,9 \\ {x}_2=-\sqrt{8,5}\approx -2,9 \end{gathered}$$

Ответ: ≈-2,9 и ≈2,9

а) $x^2 = 3$

Сначала решим уравнение аналитически. Уравнение вида $x^2 = c$, где $c>0$, имеет два корня: $x = \sqrt{c}$ и $x = -\sqrt{c}$. Для данного уравнения точные корни равны $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$.

Теперь найдем приближенные значения корней с помощью графика функции $y = x^2$. Для этого нужно найти абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графика параболы $y = x^2$ и горизонтальной прямой $y = 3$.

Построим параболу $y = x^2$. На оси ординат ($y$) найдем значение 3 и проведем через эту точку горизонтальную прямую. Эта прямая пересечет параболу в двух точках, симметричных относительно оси $y$. Опустив перпендикуляры из этих точек на ось абсцисс ($x$), мы можем определить приближенные значения корней. По графику видно, что абсциссы точек пересечения приблизительно равны $1.7$ и $-1.7$.

Проверим: $1.7^2 = 2.89$, что очень близко к 3.

Ответ: $x_1 = \sqrt{3} \approx 1.7$, $x_2 = -\sqrt{3} \approx -1.7$.

б) $x^2 = 5$

Аналитическое решение уравнения дает два корня: $x_1 = \sqrt{5}$ и $x_2 = -\sqrt{5}$.

Для нахождения приближенных значений корней графическим методом, построим графики функций $y = x^2$ и $y = 5$. Корнями уравнения являются абсциссы точек пересечения этих графиков. На графике параболы $y = x^2$ найдем точки, ордината которых равна 5. Это точки пересечения параболы с горизонтальной прямой $y = 5$.

Из графика видно, что абсциссы этих точек приблизительно равны $2.2$ и $-2.2$.

Проверим: $2.2^2 = 4.84$, что близко к 5.

Ответ: $x_1 = \sqrt{5} \approx 2.2$, $x_2 = -\sqrt{5} \approx -2.2$.

в) $x^2 = 4.5$

Точные корни данного уравнения: $x_1 = \sqrt{4.5}$ и $x_2 = -\sqrt{4.5}$.

Для графического решения найдем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = 4.5$. На оси $y$ отметим значение 4.5 и проведем через него горизонтальную прямую. Эта прямая пересечет параболу в двух точках.

Абсциссы этих точек пересечения являются приближенными решениями уравнения. По графику определяем, что $x$ примерно равен $2.1$ и $-2.1$.

Проверим: $2.1^2 = 4.41$, что близко к 4.5.

Ответ: $x_1 = \sqrt{4.5} \approx 2.1$, $x_2 = -\sqrt{4.5} \approx -2.1$.

г) $x^2 = 8.5$

Аналитически, корни уравнения равны $x_1 = \sqrt{8.5}$ и $x_2 = -\sqrt{8.5}$.

Чтобы найти приближенные значения корней, используем график функции $y = x^2$. Корни уравнения $x^2 = 8.5$ — это абсциссы точек пересечения графика параболы $y = x^2$ и прямой $y = 8.5$. Находим на оси ординат значение 8.5 и проводим через него горизонтальную прямую. Находим точки ее пересечения с параболой.

Опуская перпендикуляры на ось абсцисс, находим приближенные значения корней. Они составляют примерно $2.9$ и $-2.9$.

Проверим: $2.9^2 = 8.41$, что близко к 8.5.

Ответ: $x_1 = \sqrt{8.5} \approx 2.9$, $x_2 = -\sqrt{8.5} \approx -2.9$.