Номер 316, страница 76 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Уравнение х^2 = а. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 316, страница 76.

316. Найдите корни уравнения:

a) $16+x^2=0$

$x^2=-16$

Ответ: нет корней

б) $0,3x^2=0,027$

$$\begin{gathered} x^2=\frac{0,027}{0,3} \\ {x}^2=0,09 \\ {x}_1=0,3 \\ {x}_2=-0,3 \end{gathered}$$

Ответ: -0,3 и 0,3

в) $0,5x^2=30$

$$\begin{gathered} x^2=\frac{30}{0,5} \\ {x}^2=60 \\ {x}_1=\sqrt{60} \\ {x}_2=-\sqrt{60} \end{gathered}$$

Ответ: $-\sqrt{60}$ и $\sqrt{60}$

г) $-5x^2=\frac{1}{20}$

$$\begin{gathered} x^2=\frac{1}{20}:(-5) \\ {x}^2=-\frac{1}{100} \end{gathered}$$

Ответ: нет корней

д) $x^3-3x=0$

$$\begin{gathered} x(x^2-3)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x^2-3=0\\ & & x^2=3\\ & & x=\sqrt{3}\\ & & x=-\sqrt{3}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: 0; $-\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$

е) $x^3-11x=0$

$$\begin{gathered} x(x^2-11)=0 \\ \begin{array}{ccl}x=0& \text{или}& x^2-11=0\\ & & x^2=11\\ & & x=\sqrt{11}\\ & & x=-\sqrt{11}\end{array} \end{gathered}$$

Ответ: 0; $-\sqrt{11}$ и $\sqrt{11}$

а)
Дано уравнение $16 + x^2 = 0$.
Перенесем 16 в правую часть уравнения:
$x^2 = -16$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом. Так как $x^2 \ge 0$, а $-16 < 0$, то уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

б)
Дано уравнение $0,3x^2 = 0,027$.
Чтобы найти $x^2$, разделим обе части уравнения на 0,3:
$x^2 = \frac{0,027}{0,3}$
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель дроби на 1000:
$x^2 = \frac{27}{300}$
Сократим дробь на 3:
$x^2 = \frac{9}{100}$
Или в виде десятичной дроби:
$x^2 = 0,09$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{0,09}$
$x = \pm0,3$
Ответ: $\pm0,3$.

в)
Дано уравнение $0,5x^2 = 30$.
Разделим обе части уравнения на 0,5:
$x^2 = \frac{30}{0,5}$
Деление на 0,5 эквивалентно умножению на 2:
$x^2 = 30 \cdot 2$
$x^2 = 60$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{60}$
Упростим корень, разложив подкоренное выражение на множители:
$x = \pm\sqrt{4 \cdot 15} = \pm\sqrt{4} \cdot \sqrt{15} = \pm2\sqrt{15}$
Ответ: $\pm2\sqrt{15}$.

г)
Дано уравнение $-5x^2 = \frac{1}{20}$.
Разделим обе части уравнения на -5:
$x^2 = \frac{1}{20 \cdot (-5)}$
$x^2 = -\frac{1}{100}$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Так как $x^2 \ge 0$, а $-\frac{1}{100} < 0$, то уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

д)
Дано уравнение $x^3 - 3x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 3) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1) $x = 0$
2) $x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $0; \pm\sqrt{3}$.

е)
Дано уравнение $x^3 - 11x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 11) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1) $x = 0$
2) $x^2 - 11 = 0 \implies x^2 = 11 \implies x = \pm\sqrt{11}$
Таким образом, уравнение имеет три корня.
Ответ: $0; \pm\sqrt{11}$.