Номер 334, страница 80 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

13. Нахождение приближённых значений квадратного корня. § 4. Арифмитический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни - номер 334, страница 80.

334. Выберите из отмеченных точек те, которые соответствуют числам 159 и 127 (рис. 16).

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} {12}^2=144<159; {13}^2=169>159 \\ 12<\sqrt{159}<13 \\ 12,6^2=158,76; 12,7^2=161,29 \\ 12,6<\sqrt{159}<12,7 \\ Q(\sqrt{159}) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)} {11}^2=121<127; {12}^2=144>127 \\ 11<\sqrt{127}<12 \\ 11,2^2=125,44<127; 11,3^2=127,69>127 \\ 11,2<\sqrt{127}<11,3 \\ M(\sqrt{127}) \end{gathered}$$

Для решения задачи необходимо оценить значения чисел $\sqrt{159}$ и $\sqrt{127}$ и сопоставить их с точками на числовой оси.

Сначала определим координаты отмеченных точек. На числовой оси отрезок между двумя целыми числами (например, между 11 и 12) разделен на 4 равные части. Следовательно, цена одного деления составляет $1 / 4 = 0.25$.

• Точка M находится на первом делении после 11, ее координата: $11 + 0.25 = 11.25$.
• Точка N находится на третьем делении после 11, ее координата: $11 + 3 \cdot 0.25 = 11.75$.
• Точка P находится на втором делении после 12, ее координата: $12 + 2 \cdot 0.25 = 12.5$.
• Точка Q находится на третьем делении после 12, ее координата: $12 + 3 \cdot 0.25 = 12.75$.

$\sqrt{159}$

1. Найдем целые числа, между которыми находится $\sqrt{159}$. Для этого найдем квадраты ближайших целых чисел:

$12^2 = 144$

$13^2 = 169$

Так как $144 < 159 < 169$, то $\sqrt{144} < \sqrt{159} < \sqrt{169}$, следовательно $12 < \sqrt{159} < 13$. Значит, этому числу может соответствовать либо точка P, либо точка Q.

2. Чтобы определить, какая из точек (P=12.5 или Q=12.75) соответствует числу $\sqrt{159}$, возведем их координаты в квадрат и сравним с числом 159.

$P^2 = 12.5^2 = 156.25$

$Q^2 = 12.75^2 = 162.5625$

3. Теперь сравним, к какому из полученных квадратов ближе число 159:

Расстояние до $P^2$: $|159 - 156.25| = 2.75$

Расстояние до $Q^2$: $|159 - 162.5625| = 3.5625$

Число 159 находится ближе к 156.25, чем к 162.5625. Следовательно, число $\sqrt{159}$ на числовой оси находится ближе к точке P (12.5), чем к точке Q (12.75).

Ответ: Точка P соответствует числу $\sqrt{159}$.

$\sqrt{127}$

1. Найдем целые числа, между которыми находится $\sqrt{127}$.

$11^2 = 121$

$12^2 = 144$

Так как $121 < 127 < 144$, то $\sqrt{121} < \sqrt{127} < \sqrt{144}$, следовательно $11 < \sqrt{127} < 12$. Значит, этому числу может соответствовать либо точка M, либо точка N.

2. Чтобы определить, какая из точек (M=11.25 или N=11.75) соответствует числу $\sqrt{127}$, возведем их координаты в квадрат.

$M^2 = 11.25^2 = 126.5625$

$N^2 = 11.75^2 = 138.0625$

3. Теперь сравним, к какому из полученных квадратов ближе число 127:

Расстояние до $M^2$: $|127 - 126.5625| = 0.4375$

Расстояние до $N^2$: $|127 - 138.0625| = 11.0625$

Число 127 находится значительно ближе к 126.5625, чем к 138.0625. Следовательно, число $\sqrt{127}$ на числовой оси находится ближе к точке M (11.25).

Ответ: Точка M соответствует числу $\sqrt{127}$.