Номер 382, страница 90 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Квадратный корень из произведения и дроби. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 382, страница 90.

382. Найдите значение выражения x², если x = –4; –3; 0; 9; 20. При каких значениях х выражение x² имеет смысл?

если x=-4, то $\sqrt{x^2}=\sqrt{{\left(-4\right)}^2}=\sqrt{16}=4$

если x=-3, то $\sqrt{x^2}=\sqrt{{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{9}=3$

если x=0, то $\sqrt{x^2}=\sqrt{0^2}=0$

если x=9, то $\sqrt{x^2}=\sqrt{9^2}=\sqrt{81}=9$

если x=20, то $\sqrt{x^2}=\sqrt{{20}^2}=\sqrt{400}=20$

Выражение $\sqrt{x^2}$ имеет смысл при любых значениях x

Найдите значение выражения $\sqrt{x^2}$, если $x = -4; -3; 0; 9; 20$.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойство арифметического квадратного корня, которое гласит, что для любого действительного числа $a$ справедливо равенство $\sqrt{a^2} = |a|$. То есть, квадратный корень из квадрата числа равен модулю этого числа. Модуль числа — это его абсолютное значение, которое всегда неотрицательно.

Подставим заданные значения $x$ в выражение $\sqrt{x^2}$ и вычислим результат:

• Если $x = -4$, то $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4$. По свойству: $\sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4$.

• Если $x = -3$, то $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$. По свойству: $\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$.

• Если $x = 0$, то $\sqrt{0^2} = \sqrt{0} = 0$. По свойству: $\sqrt{0^2} = |0| = 0$.

• Если $x = 9$, то $\sqrt{9^2} = \sqrt{81} = 9$. По свойству: $\sqrt{9^2} = |9| = 9$.

• Если $x = 20$, то $\sqrt{20^2} = \sqrt{400} = 20$. По свойству: $\sqrt{20^2} = |20| = 20$.

Ответ: при $x = -4$ значение равно 4; при $x = -3$ значение равно 3; при $x = 0$ значение равно 0; при $x = 9$ значение равно 9; при $x = 20$ значение равно 20.

При каких значениях x выражение $\sqrt{x^2}$ имеет смысл?

Выражение "арифметический квадратный корень", которое обозначается как $\sqrt{a}$, определено (имеет смысл) только в том случае, когда подкоренное выражение $a$ неотрицательно, то есть $a \ge 0$.

В нашем случае подкоренным выражением является $x^2$. Следовательно, выражение $\sqrt{x^2}$ имеет смысл для всех тех значений $x$, при которых выполняется неравенство $x^2 \ge 0$.

Квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда является неотрицательным числом. Это означает, что неравенство $x^2 \ge 0$ верно для любого действительного числа $x$.

Таким образом, область определения выражения $\sqrt{x^2}$ — это все действительные числа.

Ответ: выражение имеет смысл при любых значениях $x$.