Номер 388, страница 92 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

16. Квадратный корень из степени. § 5. Свойства арифмитического квадратного корня. Глава 2. Квадратные корни - номер 388, страница 92.

388. Замените выражение тождественно равным:

a) $\sqrt{p^8}=\sqrt{{\left(p^4\right)}^2}=p^4$

б) $\sqrt{y^2}=\left|y\right|$

в) $3\sqrt{b^2}=3\left|b\right|$

г) $-0,2\sqrt{x^2}=-0,2\left|x\right|$

д) $\sqrt{25a^2}=\sqrt{25}·\sqrt{a^2}=5\left|a\right|$

Для решения данных задач воспользуемся основным тождеством для арифметического квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$, которое справедливо для любого действительного числа $a$.

а)

Рассмотрим выражение $\sqrt{p^8}$.
Представим подкоренное выражение $p^8$ в виде квадрата другого выражения, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$: $p^8 = (p^4)^2$.
Тогда $\sqrt{p^8} = \sqrt{(p^4)^2}$.
Применяя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$ для $a = p^4$, получаем: $\sqrt{(p^4)^2} = |p^4|$.
Поскольку показатель степени 4 является четным числом, выражение $p^4$ всегда неотрицательно (то есть $p^4 \ge 0$) для любого действительного значения $p$.
Модуль неотрицательного числа равен самому числу, следовательно, $|p^4| = p^4$.

Ответ: $p^4$

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt{y^2}$.
Это прямое применение тождества $\sqrt{a^2} = |a|$, где в данном случае $a = y$.
Следовательно, $\sqrt{y^2} = |y|$.
Знак модуля обязателен, так как переменная $y$ может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Например, если $y = -5$, то $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$, что в точности равно $|-5|$.

Ответ: $|y|$

в)

Рассмотрим выражение $3\sqrt{b^2}$.
Сначала упростим выражение под корнем: $\sqrt{b^2}$.
Используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = b$, получаем $\sqrt{b^2} = |b|$.
Затем умножим результат на коэффициент 3: $3 \cdot |b| = 3|b|$.

Ответ: $3|b|$

г)

Рассмотрим выражение $-0,2\sqrt{x^2}$.
Упростим корень $\sqrt{x^2}$. Применяя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = x$, получаем $\sqrt{x^2} = |x|$.
Далее, умножим полученное выражение на коэффициент $-0,2$: $-0,2 \cdot |x| = -0,2|x|$.

Ответ: $-0,2|x|$

д)

Рассмотрим выражение $\sqrt{25a^2}$.
Представим подкоренное выражение $25a^2$ в виде полного квадрата: $25a^2 = 5^2 \cdot a^2 = (5a)^2$.
Тогда $\sqrt{25a^2} = \sqrt{(5a)^2}$.
Применим тождество $\sqrt{A^2} = |A|$, где $A = 5a$, и получим $\sqrt{(5a)^2} = |5a|$.
Используя свойство модуля произведения $|xy| = |x| \cdot |y|$, можем записать: $|5a| = |5| \cdot |a| = 5|a|$.

Ответ: $5|a|$